2023학년도 6월 모평 14번

ㄱ. $x<0$일 때 $g'(x)=-f(x)$, $x\ge 0$일 때 $g'(x)=f(x)$이에요.

$g$는 $x=0$에서 미분가능하고 $f$는 연속이므로

$$\lim_{x\to 0-}(-f(x))=\lim_{x\to 0+}f(x)=f(0)$$

따라서 $-f(0)=f(0)$, $f(0)=0$이에요. (참)

ㄴ. $g(0)=\displaystyle\int_{0}^{0}f(t)\,dt=0$이고 $g$는 삼차함수이므로

$$g(x)=x^{2}(x-a) \quad (a\text{는 상수})$$

로 놓을 수 있어요.

$$g'(x)=x(3x-2a)$$ $$f(x)= \begin{cases} -x(3x-2a) & (x<0) \\ x(3x-2a) & (x\ge 0) \end{cases}$$

(ⅰ) $a>0$

$x=0$에서 극댓값을 가져요.

(ⅱ) $a<0$

$x=\dfrac{a}{3}$에서 극댓값을 가져요.

(ⅲ) $a=0$

$f(x)=\pm 3x^{2}$ 꼴로 극댓값이 없어요.

항상 극댓값을 갖는 것은 아니므로 **(거짓)**이에요.

ㄷ. $f(1)=3-2a$예요.

(ⅰ) $a>0$

$2<3-2a<4$에서 $0<a<\dfrac{1}{2}$.

$x<0$에서 $f'(x)=-6x+2a$이므로 $\displaystyle\lim_{x\to 0-}f'(x)=2a$이고, $0<2a<1$이에요.

$y=f(x)$와 $y=x$는 서로 다른 실근이 $3$개예요.

(ⅱ) $a<0$

$2<3-2a<4$에서 $-\dfrac{1}{2}<a<0$.

$x>0$에서 $f'(x)=6x-2a$이므로 $\displaystyle\lim_{x\to 0+}f'(x)=-2a$이고, $0<-2a<1$이에요.

실근이 $3$개예요.

(ⅲ) $a=0$

$f(1)=3$이고 그래프와 $y=x$는 실근이 $3$개예요.

따라서 $2<f(1)<4$일 때도 실근의 개수는 $3$개예요. (참)

옳은 것은 ㄱ, ㄷ뿐이므로 정답은 ④예요.