2024학년도 6월 모평 20번

최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$의 부정적분을 $F(x)$라 하면 $F'(x)=f(x)$이고

$$g(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt=F(x)-F(0)$$

이므로 $g'(x)=f(x)$이고, $g(x)$는 최고차항의 계수가 $\dfrac{1}{3}$인 삼차함수예요.

조건 1 $x\ge 1$에서 $g(x)\ge g(4)$이므로 $[1,\infty)$에서 $g$는 $x=4$에서 극소이고

$$f(4)=g'(4)=0$$

따라서 아래와 같아요.

$$f(x)=(x-4)(x-a)\qquad\text{($a$는 상수)}$$

로 둘 수 있어요.

$g(4)\ge 0$인 경우

$x\ge 1$에서 $g(x)\ge g(4)\ge 0$이면 $|g(x)|=g(x)$예요. 그런데 $x=4$에서 최소이므로 $g(3)>g(4)$인데, 모든 $x\ge 1$에 $g(x)\ge g(3)$을 요구하면 $x=4$에서 모순이 돼요. 따라서 이 경우는 불가능해요.

$g(4)<0$인 경우

$x\ge 1$에서 $|g(x)|\ge |g(3)|$를 만족하려면 $g(3)=0$이면 $|g(3)|=0$으로 조건을 맞추기 쉬워요.

$$g(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{a+4}{2}x^{2}+4ax$$

($g(0)=0$)에서 아래와 같아요.

$$g(3)=9-\dfrac{9}{2}(a+4)+12a=0$$ $$\dfrac{15}{2}a=9,\qquad a=\dfrac{6}{5}$$

따라서 아래와 같아요.

$$f(x)=(x-4)\left(x-\dfrac{6}{5}\right)$$ $$f(9)=(9-4)\left(9-\dfrac{6}{5}\right)=5\cdot\dfrac{39}{5}=39$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{39}$예요.