(나) 집합 {x∣f(x)=k}의 원소가 3개 이상이 되도록 하는 k가 존재하므로, 사차함수 f(x)는 극값을 3개 가져요.
(가) f′(a)≤0인 실수 a의 최댓값이 2이므로 f′(2)=0이고, a>2에서는 f′(a)>0이에요. 이미 f′(1)=0이므로 f′(x)=0의 나머지 한 근을 t라 하면 y=f′(x)의 개형은 다음과 같아요.
f(0)=0이므로 y=f(x)의 개형은 대략 다음과 같아요.
**(나)**에서 k의 최솟값이 38이므로, y=f(x)의 그래프는 직선 y=38에 접해요. 접점 x=2에서 중근을 두고
f(x)=(x−α)(x−β)(x−2)2+38⋯⋯㉠
라 할 수 있어요(α, β는 실수).
f(0)=0이므로 ㉠에 x=0을 대입하면
4αβ+38=0⇒αβ=−32⋯⋯㉡
f′(1)=0에서 (미분하여 x=1 대입)
f′(1)=α+β−2αβ+34=0
㉡을 대입하면
α+β+34=0⇒α+β=−34⋯⋯㉢
따라서
f(3)=(3−α)(3−β)+38=9−3(α+β)+αβ+38=9−3×(−34)−32+38(∵ ㉡, ㉢)=15
따라서 구하는 값은 15예요.
