2025학년도 9월 모평 20번

그래프의 모양

$0\le x<\pi$에서 $f(x)=\sin x-1$은 $y=\sin x$를 $y$축 방향으로 $1$만큼 내린 곡선이에요.

• $x=0$에서 $f(0)=-1$

• $x=\dfrac{\pi}{2}$에서 $f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$ (최댓값)

• $x\to\pi^{-}$에서 $f(x)\to-1$

$\pi\le x\le 2\pi$에서 $f(x)=-\sqrt{2}\sin x-1$은 $y=\sqrt{2}\sin x$를 $x$축에 대해 대칭한 뒤 $1$만큼 내린 곡선이에요.

• $x=\pi$에서 $f(\pi)=-1$

• $x=\dfrac{3\pi}{2}$에서 $f\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=\sqrt{2}-1$ (최댓값)

• $x=2\pi$에서 $f(2\pi)=-1$

$x=\pi$에서 두 식 모두 $-1$이므로 그래프는 연속이에요.

방정식 $f(x)=f(t)$의 서로 다른 실근의 개수는, 닫힌구간 $\lbrack0,2\pi\rbrack$에서 직선 $y=f(t)$와 $y=f(x)$의 교점 개수와 같아요.

교점이 $3$개인 경우

$f(t)=-1$

$f(x)=-1$이 되는 $x$를 구해요.

$0\le x<\pi$에서 $\sin x-1=-1$이면 $\sin x=0$이므로 $x=0$만 해당해요. ($x=\pi$는 이 구간에 포함되지 않아요.)

$\pi\le x\le 2\pi$에서 $-\sqrt{2}\sin x-1=-1$이면 $\sin x=0$이므로 $x=\pi,\,2\pi$.

교점은 $x=0,\,\pi,\,2\pi$로 $3$개예요.

따라서 $f(t)=-1$인

$$t=0,\quad t=\pi,\quad t=2\pi$$

은 모두 조건을 만족해요.

$f(t)=0$

$f(x)=0$인 $x$를 구해요.

$0\le x<\pi$에서 $\sin x=1$이므로 $x=\dfrac{\pi}{2}$.

$\pi\le x\le 2\pi$에서 $\sin x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$이므로

$$x=\dfrac{5\pi}{4},\quad x=\dfrac{7\pi}{4}$$

(두 근을 $\alpha,\,\beta$라 하면 $\alpha+\beta=\dfrac{5\pi}{4}+\dfrac{7\pi}{4}=3\pi$)

교점은 $x=\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{5\pi}{4},\,\dfrac{7\pi}{4}$로 $3$개예요.

따라서 $f(t)=0$인

$$t=\dfrac{\pi}{2},\quad t=\dfrac{5\pi}{4},\quad t=\dfrac{7\pi}{4}$$

도 모두 조건을 만족해요.

(그래프에서 $-1<f(t)<0$ 또는 $0<f(t)<\sqrt{2}-1$인 다른 높이에서는 교점이 $3$개가 되지 않아요.)

모든 $t$의 합과 $p+q$

조건을 만족하는 $t$는 위 여섯 값뿐이에요.

$$\begin{aligned} 0+\pi+2\pi+\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{5\pi}{4}+\dfrac{7\pi}{4} &=\dfrac{\pi}{2}+\pi+2\pi+3\pi \\ &=\dfrac{13}{2}\pi \end{aligned}$$

따라서 $\dfrac{q}{p}\pi=\dfrac{13}{2}\pi$이고, $p=2$, $q=13$ ($\gcd(2,13)=1$)이므로

$$p+q=15$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{15}$예요.