2022학년도 6월 모평 12번

삼각형 $\rm ABD$에서 $\angle \rm BAD = \angle \rm BAC$이고 점 $\rm D$는 $\overline{\rm AC}$ 위에 있으므로 $\angle \rm BAD = \angle \rm BAC$이에요. 문제에서 $\angle \rm BAC = \angle \rm BDA$이니

$\angle \rm BAD = \angle \rm BDA$

이에요. 두 각의 크기가 같으므로 맞은편 변의 길이가 같아요. $\angle \rm BAD$의 맞은편은 $\overline{\rm BD}$, $\angle \rm BDA$의 맞은편은 $\overline{\rm AB}$이므로

$\overline{\rm BD} = \overline{\rm AB} = 4$

이에요.

삼각형 $\rm ABD$는 $\overline{\rm AB} = \overline{\rm BD}$인 이등변삼각형이에요. 점 $\rm B$에서 직선 $\rm AD$에 내린 수선의 발을 $\rm H$라 하면 $\rm H$는 $\overline{\rm AD}$의 중점이에요.

$\overline{\rm AH} = \overline{\rm AB} \cos(\angle \rm BAC) = 4 \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2}$

이므로

$\overline{\rm AD} = 2 \times \overline{\rm AH} = 1$

이에요.

$\overline{\rm AC} = 5$, $\overline{\rm AD} = 1$이므로

$\overline{\rm DC} = \overline{\rm AC} - \overline{\rm AD} = 4$

이에요. $\overline{\rm BD} = \overline{\rm DC} = 4$이므로 삼각형 $\rm BCD$는 $\overline{\rm BC}$를 밑변으로 하는 이등변삼각형이에요. 따라서 꼭짓점 $\rm D$에서 밑변 $\overline{\rm BC}$에 내린 수선의 발 $\rm H'$는 $\overline{\rm BC}$의 중점이에요.

삼각형 $\rm ABC$에 코사인 법칙을 쓰면

$\overline{\rm BC}^{2} = \overline{\rm AB}^{2} + \overline{\rm AC}^{2} - 2 \cdot \overline{\rm AB} \cdot \overline{\rm AC} \cdot \cos(\angle \rm BAC)$

$= 4^{2} + 5^{2} - 2 \times 4 \times 5 \times \dfrac{1}{8}$

$= 16 + 25 - 5 = 36$

이므로 $\overline{\rm BC} = 6$이에요. 그래서

$\overline{\rm BH'} = \dfrac{1}{2} \overline{\rm BC} = 3$

이에요.

직각삼각형 $\rm DBH'$($\angle \rm DH'B = 90^{\circ}$)에서 피타고라스 정리로

$\overline{\rm DH'}^{2} + \overline{\rm BH'}^{2} = \overline{\rm BD}^{2}$

$\overline{\rm DH'}^{2} + 3^{2} = 4^{2}$

$\overline{\rm DH'}^{2} = 7$, $\overline{\rm DH'} = \sqrt{7}$

(길이이므로 양수만 씀)

이에요.

$\overline{\rm DE} = x$라 하고, $\angle \rm BED = \angle \rm BAC$이므로 $\cos(\angle \rm BED) = \dfrac{1}{8}$이에요. 그림에서 $\rm E$가 선분 $\overline{\rm BC}$ 위에 있고 $\overline{\rm DH'} \perp \overline{\rm BC}$일 때, $\angle \rm H'ED$와 $\angle \rm BED$가 같아지는 경우를 보면 직각삼각형 $\rm DH'E$에서

$\overline{\rm DH'} = \overline{\rm DE} \sin(\angle \rm H'ED) = x \sin(\angle \rm BAC)$

$\sin^{2}(\angle \rm BAC) + \cos^{2}(\angle \rm BAC) = 1$이고 $\angle \rm BAC$는 삼각형의 내각이므로 $\sin(\angle \rm BAC) > 0$이에요.

$\sin(\angle \rm BAC) = \sqrt{1 - \left( \dfrac{1}{8} \right)^{2}} = \dfrac{\sqrt{63}}{8}$

따라서

$\sqrt{7} = x \cdot \dfrac{\sqrt{63}}{8}$

$x = \dfrac{8\sqrt{7}}{\sqrt{63}} = \dfrac{8\sqrt{7}}{3\sqrt{7}} = \dfrac{8}{3}$

같은 식을 피타고라스로만 쓰면 직각삼각형 $\rm DBH'$에 대해 $\overline{\rm DH'} = \dfrac{\sqrt{63}}{8} x$를 대입해서

$4^{2} = \left( \dfrac{\sqrt{63}}{8} x \right)^{2} + 3^{2}$

$\dfrac{63}{64} x^{2} = 7$, $x^{2} = \dfrac{64}{9}$

$x > 0$이므로 $x = \dfrac{8}{3}$이에요.

따라서 $\overline{\rm DE} = \dfrac{8}{3}$이고, 정답은 ③이에요.