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2022년 9월 모의평가 대수 > 2. 삼각함수 > C. 삼각함수 > 사인법칙과 코사인법칙 난이도

2022학년도 9월 모평 12번

집중 모드가 켜져 있습니다. STEP 힌트와 최종 풀이는 계속 볼 수 있고, 관련 문제는 숨겨집니다.

문제

반지름의 길이가 $2\sqrt{7}$ 인 원에 내접하고 $\angle A$$= \dfrac{\pi}{3}$ 인 삼각형 $ABC$ 가 있다. 점 $A$ 를 포함하지 않는 호 $BC$ 위의 점 $D$ 에 대하여 $\sin (\angle BCD)$ $= \dfrac{2\sqrt{7}}{7}$ 일 때, $\overline{BD} + \overline{CD}$ 의 값은? [4점]

정답 체크

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힌트 및 풀이

STEP 힌트

삼각형 $ABC$ 는 반지름 $2\sqrt{7}$ 인 원에 내접해 있어요. 외접원 반지름을 $R$ 이라 하면 사인법칙 $\dfrac{\overline{BC}}{\sin(\angle BAC)}=2R$ 로 $\overline{BC}$ 를 구할 수 있어요.
점 $B,\ C,\ D$ 도 같은 원 위에 있으니, 삼각형 $BCD$ 의 외접원 반지름도 $2\sqrt{7}$ 이에요. $\angle BCD$ 의 대변은 $\overline{BD}$ 이니, 같은 식으로 $\overline{BD}$ 를 구해 보세요.
점 $A$ 를 포함하지 않는 호 $\overset{\frown}{BC}$ 위의 $D$ 에 대해, $\angle BDC$ 와 $\angle BAC$ 는 현 $\overline{BC}$ 에 대한 원주각이지만 원 위에서 서로 반대쪽에 있어요. 그래서 두 각의 크기 합이 $\pi$ 가 되는 보각 관계예요.
$\triangle BCD$ 에서 $\overline{BC}$ , $\overline{BD}$ , $\angle BDC$ 를 알면 코사인법칙으로 $\overline{CD}$ 를 구할 수 있어요. 길이는 양수인 해만 고르면 돼요.

최종 풀이

모든 STEP 힌트를 공개하면 풀이를 열 수 있습니다.

삼각형 $ABC$ 의 외접원의 반지름이 $2\sqrt{7}$ 이므로 $2R=4\sqrt{7}$ 이에요.

사인법칙에 의해

\dfrac{\overline{BC}}{\sin(\angle BAC)}=2R=4\sqrt{7}

이고, $\angle BAC=\dfrac{\pi}{3}$ 이니

\overline{BC}=\sin\dfrac{\pi}{3}\times 4\sqrt{7}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times 4\sqrt{7}=2\sqrt{21}

이에요.

점 $B,\ C,\ D$ 는 같은 원 위에 있으므로 $\triangle BCD$ 의 외접원 반지름도 $2\sqrt{7}$ 이에요.

$\triangle BCD$ 에서 $\angle BCD$ 의 대변은 $\overline{BD}$ 이므로 사인법칙으로

\dfrac{\overline{BD}}{\sin(\angle BCD)}=4\sqrt{7}

\overline{BD}=\dfrac{2\sqrt{7}}{7}\times 4\sqrt{7}=8

이에요.

점 $D$ 는 $A$ 를 포함하지 않는 호 $\overset{\frown}{BC}$ 위에 있으므로, $\angle BDC$ 와 $\angle BAC$ 는 현 $\overline{BC}$ 에 대한 원주각이 서로 보각이에요. 따라서

\angle BDC=\pi-\angle BAC=\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}

이에요.

$\overline{CD}=x$ 라 두고 $\triangle BCD$ 에 코사인법칙을 쓰면( $\angle BDC$ 의 양변 $\overline{BD}$ , $\overline{CD}$ , 대변 $\overline{BC}$ )

\overline{BC}^2=\overline{BD}^2+x^2-2\cdot\overline{BD}\cdot x\cdot\cos(\angle BDC)

(2\sqrt{21})^2=8^2+x^2-2\cdot 8\cdot x\cdot\cos\dfrac{2\pi}{3}

$\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$ 이므로

84=64+x^2+8x

x^2+8x-20=0

(x-2)(x+10)=0

이에요. $x>0$ 이어야 하므로 $x=2$ , 즉 $\overline{CD}=2$ 예요.

그러므로

\overline{BD}+\overline{CD}=8+2=10

이에요.

따라서 정답은 ②예요.

출제 경향

현재 문항과 같은 분류(단원/개념) 기준으로 출제 빈도와 난이도 분포를 집계했습니다.

단원 출제

45회 (10.0%)

개념 출제

16회 (3.6%)

개념 출제 (회차 기준)

15회 (100.0%)

같은 개념의 평균 난이도는 3.75 이고, 가장 자주 출제된 난이도는 4 입니다. 최근 3개년 기준 출제는 10회 입니다.

난이도 1: 0회 난이도 2: 0회 난이도 3: 5회 난이도 4: 10회 난이도 5: 1회

2022학년도 9월 모평 12번

문제

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최종 풀이

출제 경향

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