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2023년 9월 모의평가 대수 > 2. 삼각함수 > C. 삼각함수 > 사인법칙과 코사인법칙 난이도

2023학년도 9월 모평 13번

집중 모드가 켜져 있습니다. STEP 힌트와 최종 풀이는 계속 볼 수 있고, 관련 문제는 숨겨집니다.

문제

그림과 같이 선분 $AB$ 를 지름으로 하는 반원의 호 $AB$ 위에 두 점 $C$ , $D$ 가 있다. 선분 $AB$ 의 중점 $O$ 에 대하여 두 선분 $AD$ , $CO$ 가 점 $E$ 에서 만나고,

$\overline{CE} = 4$ , $\ \overline{ED} = 3\sqrt{2}$ , $\ \angle CEA = \dfrac{3}{4}\pi$

이다. $\overline{AC} \times \overline{CD}$ 의 값은? [4점]

정답 체크

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힌트 및 풀이

STEP 힌트

점 $E$ 는 직선 $AD$ 위에 있으므로 $\angle CEA$ 와 $\angle CED$ 는 보각 관계예요. $\overline{CE}$ , $\overline{ED}$ 와 $\angle CED$ 를 알면 코사인법칙으로 $\overline{CD}$ 를 구할 수 있어요.
$C$ , $E$ , $O$ 는 한 직선 위에 있고 $\overline{OC}=r$ 이므로 $\overline{OE}=r-4$ 예요. 삼각형 $OED$ 에서 $\overline{OD}=r$ , $\overline{ED}=3\sqrt{2}$ 와 $\angle OED$ 를 이용해 반지름 $r$ 을 구해 보세요.
반지름 $r$ 이 정해지면 지름은 $2r$ 이에요. 삼각형 $ACD$ 에 사인법칙을 쓰면 $\sin\angle CAD$ 를 구할 수 있고, 삼각형 $AEC$ 에서 $\overline{AC}$ 를 구할 수 있어요.
$\overline{AC}$ 와 $\overline{CD}$ 를 각각 구한 뒤 곱하면 돼요. $\sin\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 를 쓰면 계산이 편해요.

최종 풀이

모든 STEP 힌트를 공개하면 풀이를 열 수 있습니다.

$E$ 는 직선 $AD$ 위의 점이므로 $\angle CEA$ 와 $\angle CED$ 는 보각 관계예요.

\angle CED=\pi-\angle CEA=\pi-\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}

삼각형 $CDE$ 에서 코사인법칙에 의해

\overline{CD}^{2} =\overline{CE}^{2}+\overline{ED}^{2}-2\cdot\overline{CE}\cdot\overline{ED}\cdot\cos\angle CED

=4^{2}+(3\sqrt{2})^{2}-2\cdot 4\cdot 3\sqrt{2}\cdot\cos\dfrac{\pi}{4}

=16+18-24\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=34-24=10

이므로 $\overline{CD}=\sqrt{10}$ 이에요.

$O$ 는 원의 중심이고 $C$ , $E$ , $O$ 는 한 직선 위에 있으며 $\overline{CE}=4$ 이므로

\overline{OE}=\overline{OC}-\overline{CE}=r-4

이에요 ( $E$ 는 선분 $CO$ 위).

직선 $AD$ 위에서 $\overline{EA}$ 와 $\overline{ED}$ 는 반대 방향이므로, $\angle CEA=\dfrac{3\pi}{4}$ 일 때 $\angle OED=\dfrac{3\pi}{4}$ 예요.

삼각형 $OED$ 에서 $\overline{OD}=r$ , $\overline{OE}=r-4$ , $\overline{ED}=3\sqrt{2}$ 이므로 코사인법칙에 의해

r^{2}=(r-4)^{2}+(3\sqrt{2})^{2}-2(r-4)\cdot 3\sqrt{2}\cdot\cos\dfrac{3\pi}{4}

r^{2}=r^{2}-8r+16+18+6(r-4)=r^{2}-2r+10

따라서 $10-2r=0$ , $r=5$ 이고 지름은 $2r=10$ 이에요.

삼각형 $ACD$ 에서 $\angle CAD=\theta$ 라 하면, 원주각과 사인법칙에 의해

\dfrac{\overline{CD}}{\sin\theta}=2r=10 \quad\Rightarrow\quad \sin\theta=\dfrac{\sqrt{10}}{10}

삼각형 $AEC$ 에서 $\angle CEA=\dfrac{3\pi}{4}$ 이고, $\angle CAE=\theta$ 이므로 사인법칙에 의해

\dfrac{\overline{AC}}{\sin\dfrac{3\pi}{4}}=\dfrac{\overline{CE}}{\sin\theta}

\overline{AC} =\dfrac{4\cdot\sin\dfrac{3\pi}{4}}{\sin\theta} =\dfrac{4\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{\sqrt{10}}{10}} =\dfrac{2\sqrt{2}\cdot 10}{\sqrt{10}} =\dfrac{20\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=2\sqrt{20}=4\sqrt{5}

따라서

\overline{AC}\times\overline{CD}=4\sqrt{5}\times\sqrt{10}=4\sqrt{50}=20\sqrt{2}

따라서 정답은 ⑤예요.

출제 경향

현재 문항과 같은 분류(단원/개념) 기준으로 출제 빈도와 난이도 분포를 집계했습니다.

단원 출제

45회 (10.0%)

개념 출제

16회 (3.6%)

개념 출제 (회차 기준)

15회 (100.0%)

같은 개념의 평균 난이도는 3.75 이고, 가장 자주 출제된 난이도는 4 입니다. 최근 3개년 기준 출제는 10회 입니다.

난이도 1: 0회 난이도 2: 0회 난이도 3: 5회 난이도 4: 10회 난이도 5: 1회

2023학년도 9월 모평 13번

문제

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STEP 힌트

최종 풀이

출제 경향

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