2024학년도 6월 모평 19번

$f(x)=a\sin bx+8-a$이므로 $\sin bx$의 최솟값 $-a$를 대입하면 함수의 최솟값은 아래와 같아요.

$$8-2a$$

**(가)**에 의해 $8-2a\ge 0$, 즉 $a\le 4$예요. $a$는 자연수이므로 $a\in\{1,2,3,4\}$이에요.

$a=1,2,3$이면 최솟값이 각각 $6,4,2$로 모두 양수라 $f(x)=0$인 실수 $x$가 없어 **(나)**를 만족하지 않아요. 따라서 $a=4$뿐이에요.

$a=4$이면 아래와 같아요.

$$f(x)=4\sin bx+4=4(\sin bx+1)\ge 0$$

이고 $f(x)=0$은 $\sin bx=-1$, 즉

$$bx=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k\quad (k\in\mathbb{Z})$$

과 같아요. $0\le x\lt 2\pi$에서

$$x=\dfrac{(4k+3)\pi}{2b}$$

**(나)**에서 근이 $4$개이려면 $k=0,1,2,3$에 대해서는 $0\le x\lt 2\pi$이고 $k=4$부터는 $x\ge 2\pi$가 되어야 해요. 따라서

$$\dfrac{15\pi}{2b}<2\pi\le\dfrac{19\pi}{2b}$$

즉 $\dfrac{15}{4}<b\le\dfrac{19}{4}$이고, $b$는 자연수이므로 $b=4$예요.

$$a+b=4+4=8$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{8}$예요.