2024학년도 수능 19번

$f(x)=\sin\dfrac{\pi}{4}x$의 주기는 아래와 같아요.

$$\dfrac{2\pi}{\pi/4}=8$$

정수 $n$에 대해 $f(n)$은 다음이 $8$마다 반복돼요.

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$f(n)$	$0$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$0$	$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$	$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$g(x)=f(2+x)f(2-x)$라 해요. $f$의 주기가 $8$이므로 $g$의 주기도 $8$이에요.

$x=1,2,\ldots,8$에서

$$\begin{aligned} g(1)&=f(3)f(1)=\dfrac{1}{2}, & g(2)&=f(4)f(0)=0, & g(3)&=f(5)f(-1)=f(5)f(7)=\dfrac{1}{2}, \\ g(4)&=f(6)f(-2)=f(6)^{2}=1, & g(5)&=f(7)f(-3)=f(7)f(5)=\dfrac{1}{2}, & g(6)&=f(8)f(-4)=f(0)f(4)=0, \\ g(7)&=f(9)f(-5)=f(1)f(3)=\dfrac{1}{2}, & g(8)&=f(10)f(-6)=f(2)^{2}=1 \end{aligned}$$

$g(x)$가 $\dfrac{1}{4}$보다 작으려면 $g(x)=0$뿐이에요. 따라서 $x\equiv 2,\,6\pmod{8}$이에요.

$0<x<16$인 자연수는 $x=1,2,\ldots,15$이고, 조건을 만족하는 $x$는

$$2,\,6,\,10,\,14$$

따라서 합은 아래와 같아요.

$$2+6+10+14=32$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{32}$예요.