2022학년도 6월 모평 15번

ㄱ.

방정식

$$\left(\sin\dfrac{\pi x}{2}-t\right)\left(\cos\dfrac{\pi x}{2}-t\right)=0$$

에서

$$\sin\dfrac{\pi x}{2}=t \quad\text{또는}\quad \cos\dfrac{\pi x}{2}=t$$

이에요. 실근은 $0\le x<4$에서 곡선 $y=\sin\dfrac{\pi x}{2}$, $y=\cos\dfrac{\pi x}{2}$와 직선 $y=t$의 교점의 $x$좌표예요.

두 함수 모두 주기가 $4$이고, $[0,4)$에서의 그래프는 예를 들어 아래와 같아요.

이제 $-1\le t<0$일 때를 봐요. $y=t$가 $x$축 아래에 있으므로 $\alpha(t)$, $\beta(t)$는 대략 다음 그림과 같이 잡혀요.

$y=\cos\dfrac{\pi x}{2}$는 $y=\sin\dfrac{\pi x}{2}$를 적절히 평행이동하면 겹치는 그래프이고, $y=\sin\dfrac{\pi x}{2}$는 $x=1$, $x=3$에 대해 대칭이며 점 $(2,0)$에 대해서도 대칭이에요.

그래서 $-1\le t<0$일 때 최소근을

$$\alpha(t)=1+k \quad (0<k\le 1)$$

로 두면, 대칭에 의해 최대근은

$$\beta(t)=4-k$$

로 쓸 수 있어요. 따라서

$$\alpha(t)+\beta(t)=(1+k)+(4-k)=5$$

가 항상 성립해요. 즉 ㄱ은 참이에요.

ㄴ.

$\alpha(t)$, $\beta(t)$는 $\{x\mid 0\le x<4\}$ 안의 실근이므로 $t=0$일 때

$$\alpha(0)=0,\quad \beta(0)=3$$

이에요. 그러면

$$\beta(0)-\alpha(0)=3$$

이고, 구하는 집합은

$$\{t\mid \beta(t)-\alpha(t)=\beta(0)-\alpha(0)\} =\{t\mid \beta(t)-\alpha(t)=3\}$$

으로 바뀌어요.

(ⅰ) $0\le t\le\dfrac{\sqrt{2}}{2}$일 때
$t=0$이면 이미 $\beta(0)-\alpha(0)=3$이에요.
$0<t\le\dfrac{\sqrt{2}}{2}$이면 그림은 예를 들어 아래와 같아요.

$\alpha(t)=k$ $(0<k\le\dfrac{1}{2})$로 두면 $\beta(t)=3+k$가 되어

$$\beta(t)-\alpha(t)=3$$

이에요.

(ⅱ) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}<t<1$일 때는 그림이 예를 들어 아래와 같아요.

$\alpha(t)=k$ $(0<k<\dfrac{1}{2})$로 두면 $\beta(t)=4-k$라서

$$\beta(t)-\alpha(t)=4-2k,\quad 0<2k<1$$

이므로 $3<\beta(t)-\alpha(t)<4$이고, 값 $3$은 나오지 않아요.

(ⅲ) $t=1$일 때 $\alpha(1)=0$, $\beta(1)=1$이므로 $\beta(1)-\alpha(1)=1\ne 3$이에요.

(ⅳ) $-1\le t<0$일 때는 그림이 예를 들어 아래와 같아요.

$1<\alpha(t)\le 2$, $3\le\beta(t)<4$이므로

$$\beta(t)-\alpha(t)<3$$

이에요.

정리하면 $\beta(t)-\alpha(t)=3$인 $t$는

$$0\le t\le\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

에서만 얻어져요. 즉

$$\{t\mid \beta(t)-\alpha(t)=3\} =\left\{t\,\middle|\,0\le t\le\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right\}$$

이고 ㄴ은 참이에요.

ㄷ.

$\alpha(t_1)=\alpha(t_2)$이려면 (그림의 위치 관계로) 보통

$$0<t_1<\dfrac{\sqrt{2}}{2}<t_2$$

처럼 한쪽은 $\sin$ 쪽, 한쪽은 $\cos$ 쪽에서 같은 $x$좌표 $\alpha$를 주는 $t$가 되어요. 같은 $\alpha$에 대해

$$t_1=\sin\dfrac{\pi}{2}\alpha,\quad t_2=\cos\dfrac{\pi}{2}\alpha$$

로 둘 수 있어요.

조건 $t_2=t_1+\dfrac{1}{2}$를 넣으면

$$\cos\dfrac{\pi}{2}\alpha=\sin\dfrac{\pi}{2}\alpha+\dfrac{1}{2}$$

이에요. $\cos^2\dfrac{\pi}{2}\alpha+\sin^2\dfrac{\pi}{2}\alpha=1$에 $\cos\dfrac{\pi}{2}\alpha$를 대입하면

$$\sin^2\dfrac{\pi}{2}\alpha+\left(\sin\dfrac{\pi}{2}\alpha+\dfrac{1}{2}\right)^2=1$$

을 정리해

$$8\sin^2\dfrac{\pi}{2}\alpha+4\sin\dfrac{\pi}{2}\alpha-3=0$$

을 얻어요. 근의 공식으로

$$\sin\dfrac{\pi}{2}\alpha=\dfrac{-2\pm\sqrt{28}}{8}=\dfrac{-1\pm\sqrt{7}}{4}$$

인데, $\sin\dfrac{\pi}{2}\alpha>0$이어야 하므로

$$\sin\dfrac{\pi}{2}\alpha=\dfrac{-1+\sqrt{7}}{4}$$

이에요. 그러면

$$t_1=\dfrac{-1+\sqrt{7}}{4},\quad t_2=t_1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1+\sqrt{7}}{4}$$

이고,

$$t_1t_2=\dfrac{(-1+\sqrt{7})(1+\sqrt{7})}{16}=\dfrac{7-1}{16}=\dfrac{3}{8}$$

이에요. 보기에서는 $t_1t_2=\dfrac{1}{3}$이라 했으므로 ㄷ은 거짓이에요.

따라서 옳은 것만 고르면 ㄱ, ㄴ이고, 정답은 ②예요.