2025학년도 6월 모평 15번

(가) $g$가 실수 전체에서 미분가능·증가이므로 $x=k$에서 연속·미분가능해요.

$$f(k)=k,\quad f'(k)=2$$

따라서 아래와 같아요.

$$f(x)=(x-k)^{3}+a(x-k)^{2}+2(x-k)+k \quad\cdots\cdots\text{㉠}$$

(나) 첫 번째 적분. $h(t)=|t(t-1)|+t(t-1)$이면

$$h(t)= \begin{cases} 2t(t-1) & (t<0\ \text{또는}\ t>1) \\ 0 & (0\le t\le 1) \end{cases}$$

$\displaystyle\int_{0}^{x}g(t)h(t)\,dt\ge 0$이 항상 성립하려면 $t<0$에서는 $g(t)<0$, $t>1$에서는 $g(t)\ge 0$이어야 해요. $g(t)=2t-k$의 영점 $t=\dfrac{k}{2}$이므로 아래와 같아요.

$$0\le\dfrac{k}{2}\le 1 \quad\Rightarrow\quad 0\le k\le 2 \quad\cdots\cdots\text{㉡}$$

두 번째 적분. $s(t)=|(t-1)(t+2)|-(t-1)(t+2)$이면

$$s(t)= \begin{cases} 0 & (t<-2\ \text{또는}\ t>1) \\ -2(t-1)(t+2) & (-2\le t\le 1) \end{cases}$$

$\displaystyle\int_{3}^{x}g(t)s(t)\,dt\ge 0$이 항상 성립하려면 $-2\le t\le 1$에서 $g(t)\le 0$이어야 하므로 아래와 같아요.

$$\dfrac{k}{2}\ge 1 \quad\Rightarrow\quad k\ge 2 \quad\cdots\cdots\text{㉢}$$

㉡·㉢에서 $k=2$예요. ㉠에 $k=2$를 대입하면 아래와 같아요.

$$f(x)=(x-2)^{3}+a(x-2)^{2}+2(x-2)+2$$

$x\ge 2$에서 $g(x)=f(x)$가 증가하려면 $f'(x)\ge 0$($x\ge 2$)이어야 해요.

$$f'(x)=3(x-2)^{2}+2a(x-2)+2$$

꼭짓점 $x=2+\dfrac{-2a}{6}=2-\dfrac{a}{3}$에서, $a>0$이면 $x\ge 2$에서 $f'(x)\ge 2>0$이고, $a\le 0$이면 최솟값은 아래와 같아요.

$$14-4a-\dfrac{(6-a)^{2}}{3}\ge 0 \quad\Rightarrow\quad -\sqrt{6}\le a\le 0$$

이어야 해요. 따라서 $a\ge-\sqrt{6}$.

$k=2$이므로 $g(k+1)=g(3)$이고, $3>2$에서 아래와 같아요.

$$g(3)=f(3)=1+a+2+2=a+5\ge 5-\sqrt{6}$$

따라서 $g(k+1)$의 최솟값은 $5-\sqrt{6}$이에요. 정답은 ②예요.