2024학년도 9월 모평 13번

$x\to 0\pm$에서 $f(x)\to 0$이고 $f(0)=0$이므로 $f$는 $x=0$에서 연속이에요.

$$f'(x)= \begin{cases} -x^{2}-2ax-b & (x\lt 0) \\ x^{2}+2ax-b & (x\gt 0) \end{cases}$$

$x<0$

$(-\infty,-1]$에서 감소, $[-1,0]$에서 증가이므로 $f'(-1)=0$이에요.

$$-1+2a-b=0,\qquad b=2a-1$$

$f'(x)=-(x+1)(x+b)$ 꼴이고, $[-1,0]$에서 증가하려면 $-b\ge 0$, 즉 $b\le 0$이에요.

$x>0$

$g(x)=x^{2}+2ax-b$라 하면 $[0,\infty)$에서 $f$가 증가하려면 $x>0$에서 $g(x)\ge 0$이어야 해요.

• $a>0$
  꼭짓점 $x=-a<0$이므로 $g(0)=-b\ge 0$이면 돼요. $b=2a-1\le 0$에서 $0<a\le\dfrac{1}{2}$

• $a<0$
  $\dfrac{D}{4}=a^{2}+b=a^{2}+2a-1\le 0$이면 $-1-\sqrt{2}\le a\le -1+\sqrt{2}$. $a<0$과 합치면 $-1-\sqrt{2}\le a<0$

따라서 아래와 같아요.

$$-1-\sqrt{2}\le a\le\dfrac{1}{2},\qquad b=2a-1$$ $$a+b=3a-1$$

최댓값은 $a=\dfrac{1}{2}$일 때 $M=\dfrac{1}{2}$, 최솟값은 $a=-1-\sqrt{2}$일 때 $m=-4-3\sqrt{2}$이에요.

$$M-m=\dfrac{1}{2}-(-4-3\sqrt{2})=\dfrac{9}{2}+3\sqrt{2}$$

따라서 정답은 ③예요.