2022학년도 9월 모평 20번

주어진 식을

$$g(x)=f(x)+|f(x)+x|-6x$$

라 두면 방정식은 $g(x)=k$와 같아요.

절댓값 정리
$f(x)+x=\dfrac12 x^3-\dfrac92 x^2+11x=\dfrac{x}{2}(x^2-9x+22)$이에요.

$x^2-9x+22$의 판별식은 $(-9)^2-4\cdot 22=-7<0$이고 최고차항 계수가 양수이므로, 모든 실수 $x$에 대해 $x^2-9x+22>0$이에요. 따라서 $f(x)+x$의 부호는 $x$의 부호와 같고,

$$f(x)\ge -x \iff x\ge 0,\qquad f(x)<-x \iff x<0$$

이에요.

그러면

$$g(x)= \begin{cases} -7x & (x<0)\\[0.35em] 2f(x)-5x & (x\ge 0) \end{cases}$$

이에요. 여기서 $x\ge 0$일 때

$$h(x)=2f(x)-5x=x^3-9x^2+15x$$

라 두면 $g(x)=h(x)$ ($x\ge 0$)예요.

$h(x)$의 증감

$$h'(x)=3x^2-18x+15=3(x-1)(x-5)$$

이므로 $h(x)$는 $x=1$에서 극댓값

$$h(1)=1-9+15=7$$

을 갖고, $x=5$에서 극솟값

$$h(5)=125-225+75=-25$$

을 가져요. 또 $h(0)=0$이에요.

$y=g(x)$의 그래프는 대략 아래와 같아요.

$x<0$에서는 $g(x)=-7x$이므로 $k>0$일 때 $g(x)=k$의 해는 $x=-\dfrac{k}{7}$ 하나뿐이에요.

$x\ge 0$에서는 $y=h(x)$와 $y=k$의 교점 개수가 위 그림처럼 달라져요. $0<k<7$이면 $h(x)=k$는 $x>0$에서 서로 다른 세 실근을 갖고, 위의 $x<0$인 한 점을 합치면 서로 다른 실근은 모두 네 개가 돼요.

$k\le 0$이거나 $k\ge 7$이면 교점 개수가 $4$가 되지 않으므로, 조건을 만족하는 실수 $k$의 범위는

$$0<k<7$$

이에요.

따라서 조건을 만족하는 정수 $k$는 $1,2,3,4,5,6$이고, 그 합은

$$1+2+3+4+5+6=\dfrac{6(1+6)}{2}=21$$

이에요.

구하는 값은 $\boxed{21}$이에요.