방정식 2x3−3x2−12x+k=0을 정리하면
2x3−3x2−12x=−k
이에요.
f(x)=2x3−3x2−12x라 하면, 구하는 조건은 방정식 f(x)=−k가 서로 다른 세 실근을 갖는 것과 같아요.
f′(x)=6x2−6x−12=6(x+1)(x−2)
이므로 f′(x)=0에서 x=−1 또는 x=2예요.
증감을 보면, x<−1에서 f′(x)>0, −1<x<2에서 f′(x)<0, x>2에서 f′(x)>0이므로
f(x)는 x=−1에서 극대, x=2에서 극소를 가져요.
극값을 계산하면
f(−1)=2(−1)3−3(−1)2−12(−1)=−2−3+12=7
f(2)=2⋅8−3⋅4−12⋅2=16−12−24=−20
이에요.
삼차함수 y=f(x) 그래프와 직선 y=−k가 서로 다른 세 점에서 만나려면, 직선의 높이가 극솟값과 극댓값 사이에 있어야 해요.
즉
−20<−k<7
이어야 해요.
양변에 −1을 곱하면 부등호 방향이 바뀌므로
−7<k<20
이에요.
k는 정수이므로 k=−6,−5,…,18,19까지 가능해요.
개수는
19−(−6)+1=26
따라서 정답은 ③예요.
