2023학년도 9월 모평 19번

방정식을 정리하면

$$3x^{4}-4x^{3}-12x^{2}=-k$$

이므로, 실근의 개수는

$$f(x)=-3x^{4}+4x^{3}+12x^{2}$$

의 그래프와 직선 $y=k$의 교점 개수와 같아요.

$$f'(x)=-12x^{3}+12x^{2}+24x=-12x(x^{2}-x-2)=-12x(x+1)(x-2)$$

$f'(x)=0$에서 $x=-1,\,0,\,2$이고,

$$f(-1)=-3+4(-1)+12=5,\quad f(0)=0,\quad f(2)=-48+32+48=32$$

$x<-1$에서 $f'>0$, $-1<x<0$에서 $f'<0$, $0<x<2$에서 $f'>0$, $x>2$에서 $f'<0$이므로 $x=-1$에서 극대 $5$, $x=0$에서 극소 $0$, $x=2$에서 극대 $32$예요.

그래프는 $x\to\pm\infty$일 때 $f(x)\to-\infty$이고, 왼쪽 봉우리(극대 $5$)와 오른쪽 봉우리(극대 $32$) 사이에 $x=0$에서 극소 $0$이 있어요.

• $k\le 0$ 또는 $k\ge 32$: 교점 $2$개 이하
• $5<k<32$: 오른쪽 봉우리에서만 $2$개
• $0<k<5$: 왼쪽 봉우리에서 $2$개, 오른쪽 봉우리에서 $2$개 → 서로 다른 실근 $4$개

따라서 조건을 만족하는 $k$는

$$0<k<5$$

인 자연수뿐이에요. $k=1,\,2,\,3,\,4$이므로 개수는 $4$개예요.

따라서 구하는 값은 $\boxed{4}$예요.