2023학년도 6월 모평 9번

$h(x)=f(x)-g(x)$라 하면

$$h(x)=x^{3}-x^{2}-x+6-a$$

$x\ge 0$에서 모든 $x$에 대해 $f(x)\ge g(x)$이려면 $h(x)\ge 0$이어야 하므로, $x\ge 0$에서 $h(x)$의 최솟값이 $0$ 이상이면 돼요.

$$h'(x)=3x^{2}-2x-1=(3x+1)(x-1)$$

$x\ge 0$에서 $h'(x)=0$이면 $x=1$이에요 ($x=-\dfrac{1}{3}$은 해당 없음).

| $x$ | $0$ | $\cdots$ | $1$ | $\cdots$ |

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| $h'(x)$ | | $-$ | $0$ | $+$ |

| $h(x)$ | $6-a$ | $\searrow$ | $5-a$ | $\nearrow$ |

따라서 $x\ge 0$에서 $h(x)$의 최솟값은 $h(1)=5-a$예요.

$$5-a\ge 0 \quad\Rightarrow\quad a\le 5$$

예를 들어 $a=5$일 때 $h(x)=x^{3}-x^{2}-x+1=(x-1)^{2}(x+1)\ge 0$ ($x\ge 0$)이므로 $a=5$는 가능해요.

따라서 실수 $a$의 최댓값은 $5$예요.

따라서 정답은 ⑤예요.