2023학년도 수능 19번

방정식

$$2x^{3}-6x^{2}+k=0 \quad\cdots\cdots \text{㉠}$$

에서 $f(x)=2x^{3}-6x^{2}+k$라 하면, ㉠의 실근은 $y=f(x)$와 $x$축의 교점의 $x$좌표예요.

$$f'(x)=6x^{2}-12x=6x(x-2)$$

$f'(x)=0$에서 $x=0$ 또는 $x=2$이고, 증감은 다음과 같아요.

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	극대 $k$	$\searrow$	극소 $k-8$	$\nearrow$

$0<x<2$에서 $f$는 $k>0$에서 $k-8<0$로 내려가고, $x>2$에서 다시 올라가므로, 양의 실근은 $(0,\,2)$와 $(2,\,\infty)$에 각각 하나씩 생겨요(총 $2$개).

이때 $x<0$ 구간에서도 $f(0)=k>0$이고 $x\to -\infty$일 때 $f\to -\infty$이므로 음의 실근이 하나 더 있지만, 문제는 양의 실근의 개수만 $2$개이면 되므로 괜찮아요.

조건은

$$f(0)=k>0,\qquad f(2)=k-8<0$$

즉 $0<k<8$이에요.

따라서 정수 $k$는 $1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7$로 $7$개예요.

따라서 구하는 값은 $\boxed{7}$예요.