2026학년도 9월 모평 21번

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이므로

$$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$$

라 하면

$$\begin{aligned} f'(x)&=3x^{2}+2ax+b \\ \dfrac{f(2x)-f(0)}{2x}&=4x^{2}+2ax+b \end{aligned}$$

조건은 다음과 같습니다.

$$\dfrac{3x^{2}+2ax+b}{2}+x^{2}-2 \le 4x^{2}+2ax+b \le x^{4}$$

왼쪽 부등식

왼쪽을 정리하면

$$3x^{2}+2ax+b+4\ge 0$$

$0$이 아닌 모든 실수 $x$에 성립하므로, 모든 실수 $x$에 대해 성립해야 합니다. 판별식 $D$에 대하여

$$\begin{aligned} \dfrac{D}{4}&=a^{2}-3(b+4)\le 0 \\ a^{2}&\le 3b+12 \end{aligned}$$

$a^{2}\ge 0$이므로 $b\ge -4 \quad \cdots\cdots \text{㉠}$입니다.

오른쪽 부등식

$4x^{2}+2ax+b\le x^{4}$에서

$$x^{4}-4x^{2}-2ax-b\ge 0$$

㉠에 의해 $2ax+b\ge 2ax-4$이므로, 모든 실수 $x$에 대해

$$(x^{2}-2)^{2}-4=x^{4}-4x^{2}\ge 2ax+b$$

가 성립해야 합니다. $2ax$가 모든 실수 $x$에 대해 $(x^{2}-2)^{2}-4$ 아래에 있으려면 $a=0$이어야 합니다.

$a=0$을 대입하면

$$(x^{2}-2)^{2}-4\ge b$$

$(x^{2}-2)^{2}-4$의 최솟값은 $-4$이므로 $b\le -4 \quad \cdots\cdots \text{㉢}$입니다.

$a$, $b$ 결정

㉠, ㉢에서 $b=-4$이고 $a=0$입니다. 따라서

$$\begin{aligned} f'(x)&=3x^{2}-4 \\ f'(10)&=3\times 10^{2}-4 \\ &=296 \end{aligned}$$

따라서 $f'(10)=\boxed{296}$예요.