2024학년도 6월 모평 22번

주어진 부등식은 두 평균변화율의 부호가 다르다는 뜻이므로, 열린구간 $(k,k+\dfrac{3}{2})$ 안에 극대 또는 극소가 되는 $x$가 있어야 해요.

$$f(x)=x^{3}-2ax^{2},\qquad f'(x)=3x^{2}-4ax=x(3x-4a)$$

극값은 $x=0$, $x=\dfrac{4}{3}a$에서 생겨요.

(ⅰ) $a>0$일 때

$x=0$은 $k=-1$일 때 구간 $\left(-1,\dfrac{1}{2}\right)$에 들어가 조건을 만족해요.

$x=\dfrac{4}{3}a$가 $(k,k+\dfrac{3}{2})$에 있으려면 아래와 같아요.

$$\dfrac{4}{3}a-\dfrac{3}{2}<k<\dfrac{4}{3}a$$

조건을 만족하는 모든 정수 $k$의 곱이 $-12$가 되려면 이 구간에 $k=3$, $k=4$가 있어야 하므로

$$\dfrac{4}{3}a-\dfrac{3}{2}<3,\qquad \dfrac{4}{3}a>4$$

즉 $3<a<\dfrac{27}{8}$인데, 이를 만족하는 정수 $a$는 없어요.

(ⅱ) $a<0$일 때

마찬가지로 $k=-1$일 때 $x=0$이 구간에 들어가고, $x=\dfrac{4}{3}a$가 구간에 들어가려면

$$\dfrac{4}{3}a-\dfrac{3}{2}<k<\dfrac{4}{3}a$$

이어야 해요.

이때 조건을 만족하는 모든 정수 $k$의 곱이 $-12$가 되려면 위 구간에 $k=-4$, $k=-3$이 있어야 하므로

$$\dfrac{4}{3}a-\dfrac{3}{2}<-4,\qquad \dfrac{4}{3}a>-3$$

즉 아래와 같아요.

$$-\dfrac{9}{4}<a<-\dfrac{15}{8}$$

따라서 정수 $a=-2$뿐이에요.

(ⅰ), (ⅱ)에서 $a=-2$이므로

$$f(x)=x^{3}+4x^{2},\qquad f'(x)=3x^{2}+8x$$ $$f'(10)=3\cdot 10^{2}+8\cdot 10=300+80=380$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{380}$예요.