2022학년도 수능 19번

$f(x)=x^{3}+ax^{2}-(a^{2}-8a)x+3$에서

$$f'(x)=3x^{2}+2ax-(a^{2}-8a)$$

함수 $f(x)$가 실수 전체에서 증가하려면 모든 실수 $x$에 대해

$$f'(x)\ge 0$$

이어야 해요.

$f'(x)$는 최고차항의 계수가 $3>0$인 이차식이므로, $f'(x)\ge 0$이 항상 성립하려면 이차방정식 $f'(x)=0$이 실근을 갖지 않아야 합니다. 즉 판별식 $D\le 0$이어야 해요.

$$D=(2a)^{2}-4\cdot 3\cdot\bigl(-(a^{2}-8a)\bigr) =4a^{2}+12(a^{2}-8a) =16a^{2}-96a$$ $$\dfrac{D}{4}=4a^{2}-24a=4a(a-6)$$

$D\le 0$은 $\dfrac{D}{4}\le 0$과 같으므로

$$4a(a-6)\le 0$$ $$0\le a\le 6$$

따라서 조건을 만족하는 $a$의 최댓값은 $6$이고, 구하는 값은 $\boxed{6}$예요.