점 (0,0)이 곡선 y=f(x) 위에 있으므로
f(0)=0⋯⋯㉠
(0,0)에서의 접선은
y=f′(0)x⋯⋯㉡
이에요.
점 (1,2)가 곡선 y=xf(x) 위에 있으므로
1⋅f(1)=2⇒f(1)=2⋯⋯㉢
y=xf(x)에 곱의 미분법을 쓰면
y′=f(x)+xf′(x)
이고, (1,2)에서의 접선은
y={f(1)+f′(1)}(x−1)+2
이에요. ㉢을 대입하면
y={2+f′(1)}(x−1)+2={2+f′(1)}x−f′(1)⋯⋯㉣
㉡과 ㉣이 같은 직선이므로 기울기와 y절편이 각각 같아야 해요.
f′(0)=2+f′(1),0=−f′(1)
에서 f′(1)=0, f′(0)=2예요.
삼차함수이므로 f(x)=ax3+bx2+cx+d라 하면 ㉠에서 d=0이고,
f(x)=ax3+bx2+cx
f′(x)=3ax2+2bx+c
f′(0)=2에서 c=2이고, f′(1)=0에서
3a+2b+2=0⋯⋯㉤
㉢과 c=2에서 a+b+c=2이므로 a+b=0, 즉 b=−a예요.
㉤에 b=−a를 대입하면
3a−2a+2=0⇒a=−2,b=2
따라서
f(x)=−2x3+2x2+2x,f′(x)=−6x2+4x+2
f′(2)=−6⋅4+8+2=−24+10=−14
따라서 정답은 ⑤예요.
