2024학년도 수능 12번

$f(x)=\dfrac{1}{9}(x^{3}-15x^{2}+54x)$이므로 아래와 같아요.

$$f'(x)=\dfrac{1}{3}(x^{2}-10x+18)$$

$0<t<6$에서 $g(x)$는 $x<t$에서 $f(x)$, $x\ge t$에서 기울기 $-1$인 직선 $y=-(x-t)+f(t)$예요.

$y=g(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 넓이를 $S(t)$라 해요. $x\ge t$에서 직선이 $x$축과 만나는 점은 $x=t+f(t)$이고, $0<t<6$에서 $f(t)>0$이므로 아래와 같아요.

$$S(t)=\int_{0}^{t+f(t)}g(x)\,dx =\int_{0}^{t}f(x)\,dx+\dfrac{1}{2}\{f(t)\}^{2}$$

(오른쪽은 $x=t$에서 $x=t+f(t)$까지 직선 아래 삼각형 넓이예요.)

양변을 $t$에 대해 미분하면 아래와 같아요.

$$S'(t)=f(t)\{f'(t)+1\}$$

$0<t<6$에서 $f(t)>0$이므로 아래와 같아요. $S'(t)=0$에서 $f'(t)=-1$이에요.

$$\dfrac{1}{3}(t^{2}-10t+18)=-1 \quad\Rightarrow\quad t^{2}-10t+21=0$$

$0<t<6$에서 $t=3$이에요.

$t$	$0$	$\cdots$	$3$	$\cdots$	$6$
$S'(t)$		$+$	$0$	$-$
$S(t)$		증가	최대	감소

따라서 넓이의 최댓값은 $S(3)$이에요.

$f(3)=\dfrac{1}{9}\cdot 3\cdot(-3)\cdot(-6)=6$이고, $t=3$일 때 $x=t+f(t)=9$예요.

$$\begin{aligned} S(3) &=\int_{0}^{3}f(x)\,dx+\int_{3}^{9}(-x+9)\,dx \\[4pt] &=\dfrac{1}{9}\left[\dfrac{x^{4}}{4}-5x^{3}+27x^{2}\right]_{0}^{3} +\left[-\dfrac{x^{2}}{2}+9x\right]_{3}^{9} \\[4pt] &=\dfrac{57}{4}+\dfrac{72}{4} =\dfrac{129}{4} \end{aligned}$$

(참고: $f'(x)=0$에서 $x=5\pm\sqrt{7}$이고, $k=5-\sqrt{7}$일 때 $0<t<k$에서는 $S(t)<S(k)$이지만 $0<t<6$ 전체에서는 $t=3$에서 최대예요.)

따라서 정답은 ③예요.