2026학년도 수능 13번

접선 $l$

$f(x)=x^{2}-4x-3$에서 $f'(x)=2x-4$입니다. $(1,-6)$에서의 기울기는 $f'(1)=-2$이므로

$$\begin{aligned} y-(-6)&=-2(x-1) \\ y&=-2x-4 \end{aligned}$$

접선 $m$

$g(x)=(x^{3}-2x)f(x)$에서 곱의 미분법을 쓰면

$$g'(x)=(3x^{2}-2)f(x)+(x^{3}-2x)f'(x)$$

$f(1)=-6$, $f'(1)=-2$이므로

$$\begin{aligned} g'(1)&=(3-2)\times(-6)+(1-2)\times(-2) \\ &=-6+2 \\ &=-4 \end{aligned}$$

$(1,6)$에서의 접선은

$$\begin{aligned} y-6&=-4(x-1) \\ y&=-4x+10 \end{aligned}$$

넓이

직선 $l$의 $y$절편은 $-4$, 직선 $m$의 $y$절편은 $10$입니다. 두 직선의 교점은

$$\begin{aligned} -2x-4&=-4x+10 \\ 2x&=14 \\ x&=7 \end{aligned}$$

$y$축 위의 $(0,-4)$와 $(0,10)$을 잇는 선분을 밑변으로 하는 삼각형의 넓이는

$$\begin{aligned} \dfrac{1}{2}\times\{10-(-4)\}\times 7 &=\dfrac{1}{2}\times 14\times 7 \\ &=49 \end{aligned}$$

따라서 정답은 ⑤예요.