2024학년도 수능 20번

$f(x)=-x^{3}+ax^{2}+2x$에서

$$f'(x)=-3x^{2}+2ax+2,\quad f'(0)=2$$

원점 $O(0,0)$에서의 접선은 $y=2x$예요.

$y=2x$와 곡선의 교점:

$$-x^{3}+ax^{2}+2x=2x \quad\Rightarrow\quad x^{2}(x-a)=0$$

$x=0$(중근) 또는 $x=a$이므로 $A(a,\,2a)$예요($a>0$).

$A$가 선분 $OB$를 지름으로 하는 원 위에 있으면 $\angle OAB=90^{\circ}$예요. $\overrightarrow{OA}=(a,2a)$의 기울기가 $2$이므로 $A$에서 접선의 기울기는 $-\dfrac{1}{2}$예요.

접선: $y-2a=-\dfrac{1}{2}(x-a)$, 즉 $y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}a$.

$x$축과의 교점 $B$는 $y=0$에서 $x=5a$, 따라서 $B(5a,\,0)$이에요.

$f'(a)=-a^{2}+2=-\dfrac{1}{2}$에서 $a^{2}=\dfrac{5}{2}$($a>\sqrt{2}$).

$$\overline{OA}=\sqrt{a^{2}+(2a)^{2}}=\sqrt{5}\,a,\quad \overline{AB}=\sqrt{(4a)^{2}+(2a)^{2}}=2\sqrt{5}\,a$$

따라서 아래와 같아요.

$$\overline{OA}\times\overline{AB}=\sqrt{5}\,a\cdot 2\sqrt{5}\,a=10a^{2}=10\cdot\dfrac{5}{2}=25$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{25}$예요.