2023학년도 6월 모평 8번

$f$는 닫힌구간 $[1,5]$에서 연속이고 열린구간 $(1,5)$에서 미분가능하므로, 평균값의 정리에 의해

$$\dfrac{f(5)-f(1)}{5-1}=f'(c) \quad\cdots\cdots \text{㉠}$$

를 만족하는 상수 $c$가 열린구간 $(1,5)$에 적어도 하나 존재해요.

**(가)**에서 $f(1)=3$이고, **(나)**에서 $f'(c)\ge 5$이므로 ㉠에 의해

$$\dfrac{f(5)-3}{4}=f'(c)\ge 5$$ $$f(5)-3\ge 20 \quad\Rightarrow\quad f(5)\ge 23$$

이에요.

예를 들어 $f(x)=5x-2$이면 $f'(x)=5$, $f(1)=3$, $f(5)=23$으로 조건을 만족하므로 $f(5)=23$이 가능해요.

따라서 $f(5)$의 최솟값은 $23$이에요.

따라서 정답은 ③예요.