2023학년도 수능 12번

집중 모드가 켜져 있습니다. STEP 힌트와 최종 풀이는 계속 볼 수 있고, 관련 문제는 숨겨집니다.

문제

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

$n - 1 \leq x< n$ 일 때, $| f(x) | = | 6(x - n + 1)(x - n) |$ 이다.

(단, $n$ 은 자연수이다.)

열린구간 $( 0,\ 4 )$ 에서 정의된 함수

$\displaystyle g(x) = \int_{0}^{x}{f(t)} dt - \int_{x}^{4}{f(t)} dt$

가 $x = 2$ 에서 최솟값 $0$ 을 가질 때, $\displaystyle \int_{\dfrac{1}{2}}^{4}{f(x)} dx$ 의 값은? [4점]

선택지를 클릭하면 바로 채점됩니다.

구간 $[n-1,\,n]$ 마다 $f(x)=\pm 6(x-n+1)(x-n)$ 중 하나예요. $(n-1,\,n)$ 안에서는 $6(x-n+1)(x-n)<0$ 이므로 $|f|= -6(x-n+1)(x-n)$ 와 같아요. $g'(x)=2f(x)$ 임을 이용해 $x=2$ 에서 최소가 되도록 $f$ 의 부호를 정하세요.
$g(2)=\displaystyle\int_{0}^{2}f-\int_{2}^{4}f=0$ 이므로 $\displaystyle\int_{0}^{2}f=\int_{2}^{4}f$ 예요. $x<2$ 에서는 $f<0$ , $x>2$ 에서는 $f>0$ 이 되게 각 구간의 부호를 맞추면 됩니다.
$\displaystyle\int_{\dfrac{1}{2}}^{4}f$ 는 $[0,\,1]$ , $[1,\,2]$ , $[2,\,3]$ , $[3,\,4]$ 로 나누어 계산하세요. $[0,\,1]$ 에서는 $f(x)=6x(x-1)$ 로 두면 됩니다.

모든 STEP 힌트를 공개하면 풀이를 열 수 있습니다.

현재 문항과 같은 분류(단원/개념) 기준으로 출제 빈도와 난이도 분포를 집계했습니다.

단원 출제

55회 (12.2%)

개념 출제

10회 (2.2%)

개념 출제 (회차 기준)

10회 (66.7%)

같은 개념의 평균 난이도는 4.10 이고, 가장 자주 출제된 난이도는 4 입니다. 최근 3개년 기준 출제는 5회 입니다.

난이도 1: 0회 난이도 2: 1회 난이도 3: 1회 난이도 4: 4회 난이도 5: 4회