2023학년도 6월 모평 20번

모든 실수 $x$에 대해 $f(x)\ge 0$이면

$$g(x)=\int_{x}^{x+1}|f(t)|\,dt=\int_{x}^{x+1}f(t)\,dt$$

이고 $g$는 이차함수이므로 극소인 $x$는 한 개뿐이에요. 조건을 만족하지 못해요.

따라서 $f(x)=2(x-\alpha)(x-\beta)$ ($\alpha<\beta$)로 두고, $y=|f(x)|$의 그래프는 두 근 사이에서 아래로 볼록한 형태예요.

$g(x)$가 $x=1$, $x=4$에서 극소이므로 $g'(1)=0$, $g'(4)=0$이에요.

$x=1$

구간 $[1,2]$에 $\alpha$가 들어가므로 $1<\alpha<2$일 때 ($x<\alpha<x+1$)

$$g(x)=-\int_{\alpha}^{x}f(t)\,dt-\int_{\alpha}^{x+1}f(t)\,dt$$

미분하면

$$g'(x)=-2(x-\alpha)(x-\beta)-2(x+1-\alpha)(x+1-\beta)$$

$g'(1)=0$에서

$$-2(1-\alpha)(1-\beta)-2(2-\alpha)(2-\beta)=0$$ $$3\alpha+3\beta-2\alpha\beta-5=0 \quad\cdots\cdots \text{㉠}$$

$x=4$

구간 $[4,5]$에 $\beta$가 들어가므로 $4<\beta<5$일 때 ($x<\beta<x+1$)

$$g(x)=\int_{\beta}^{x}f(t)\,dt-\int_{\beta}^{x+1}f(t)\,dt$$ $$g'(x)=2(x-\alpha)(x-\beta)+2(x+1-\alpha)(x+1-\beta)$$

$g'(4)=0$에서

$$2(4-\alpha)(4-\beta)-2(5-\alpha)(5-\beta)=0$$ $$9\alpha+9\beta-2\alpha\beta-41=0 \quad\cdots\cdots \text{㉡}$$

㉠, ㉡을 정리하면 $\alpha+\beta=6$, $\alpha\beta=\dfrac{13}{2}$예요.

$$f(0)=2\alpha\beta=2\times\dfrac{13}{2}=13$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{13}$예요.