2023학년도 9월 모평 14번

$f(0)=0$, $f(1)=0$이고 최고차항의 계수가 $1$이므로

$$f(x)=x(x-1)(x-k)$$

($k$는 상수)로 놓을 수 있어요. $\displaystyle\int_{0}^{1}|f(x)|\,dx$는 $t$와 관계없이 정해진 상수입니다.

ㄱ

$$g(0)=\int_{0}^{1}f(x)\,dx-\int_{0}^{1}|f(x)|\,dx$$

$g(0)=0$이면

$$\int_{0}^{1}f(x)\,dx=\int_{0}^{1}|f(x)|\,dx$$

이에요. $(0,1)$ 안에서 $f$의 부호가 바뀌면 $\displaystyle\int_{0}^{1}|f|\,dx>\left|\int_{0}^{1}f\right|$이므로, 위 등식이 성립하려면 $(0,1)$에서 $f(x)$의 부호가 일정해야 해요.

$0$, $1$이 근이므로 $(0,1)$에서는 $f(x)>0$이어야 합니다 ($k>1$인 경우의 그래프).

이때

$$g(-1)=\int_{-1}^{0}f(x)\,dx-\int_{0}^{1}|f(x)|\,dx$$

그래프에서 $\displaystyle\int_{-1}^{0}f(x)\,dx<0$이고 $\displaystyle\int_{0}^{1}|f(x)|\,dx>0$이므로

$$g(-1)=(\text{음수})-(\text{양수})<0$$

ㄱ은 참이에요.

ㄴ

$g(-1)>0$이면 ㄱ과 달리 $(0,1)$에서 $f(x)<0$이에요 ($k<1$이고 $k\neq 0$인 형태).

$(0,1)$에서 $f(x)<0$이면 $|f(x)|=-f(x)$이므로

$$g(-1)=\int_{-1}^{0}f(x)\,dx-\int_{0}^{1}|f(x)|\,dx =\int_{-1}^{0}f(x)\,dx+\int_{0}^{1}f(x)\,dx =\int_{-1}^{1}f(x)\,dx$$ $$\int_{-1}^{1}x(x-1)(x-k)\,dx =\int_{-1}^{1}\bigl\{x^{3}-(k+1)x^{2}+kx\bigr\}\,dx$$

$x^{3}$, $kx$는 홀함수이므로 적분값이 $0$이고, $x^{2}$ 항만 남아요.

$$=2\int_{0}^{1}\bigl\{-(k+1)x^{2}\bigr\}\,dx =-2\left[\dfrac{k+1}{3}x^{3}\right]_{0}^{1} =-\dfrac{2(k+1)}{3}$$

따라서

$$g(-1)=-\dfrac{2(k+1)}{3}>0 \quad\Rightarrow\quad k+1<0 \quad\Rightarrow\quad k<-1$$

$f(k)=0$을 만족하는 실수 $k$는 이 삼차함수의 세 번째 근뿐이므로, $k<-1$인 $k$가 존재해요.

ㄴ은 참이에요.

ㄷ

$g(-1)>1$이면

$$-\dfrac{2(k+1)}{3}>1 \quad\Rightarrow\quad k+1<-\dfrac{3}{2} \quad\Rightarrow\quad k<-\dfrac{5}{2}$$

$(0,1)$에서 $f(x)<0$일 때(ㄴ과 같은 상황)

$$g(0)=\int_{0}^{1}f(x)\,dx-\int_{0}^{1}|f(x)|\,dx =\int_{0}^{1}f(x)\,dx+\int_{0}^{1}f(x)\,dx =2\int_{0}^{1}f(x)\,dx$$ $$\int_{0}^{1}x(x-1)(x-k)\,dx =\int_{0}^{1}\bigl\{x^{3}-(k+1)x^{2}+kx\bigr\}\,dx =\left[\dfrac{1}{4}x^{4}-\dfrac{k+1}{3}x^{3}+\dfrac{k}{2}x^{2}\right]_{0}^{1}$$ $$=\dfrac{1}{4}-\dfrac{k+1}{3}+\dfrac{k}{2} =\dfrac{3-4(k+1)+6k}{12} =\dfrac{2k-1}{12}$$ $$g(0)=2\cdot\dfrac{2k-1}{12}=\dfrac{2k-1}{6}$$

$k<-\dfrac{5}{2}$이면 $2k-1<-6$이므로

$$g(0)=\dfrac{2k-1}{6}<-1$$

ㄷ은 참이에요.

옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이므로 정답은 ⑤예요.