2022학년도 6월 모평 20번

$$f(x)=x^3-12x^2+45x+3$$

이에요. 미분하면

$$f'(x)=3x^2-24x+45=3(x-3)(x-5)$$

이에요.

또

$$g(x)=\int_a^x\{f(x)-f(t)\}\{f(t)\}^4\,dt =f(x)\int_a^x\{f(t)\}^4\,dt-\int_a^x\{f(t)\}^5\,dt$$

이므로, 곱의 미분과 적분의 기본정리에 의해

$$g'(x)=f'(x)\int_a^x\{f(t)\}^4\,dt+f(x)\cdot\{f(x)\}^4-\{f(x)\}^5 =f'(x)\int_a^x\{f(t)\}^4\,dt \quad\cdots\cdots\text{㉠}$$

이에요.

따라서 $g'(x)=0$이 되려면

$$f'(x)=0\quad\text{또는}\quad \int_a^x\{f(t)\}^4\,dt=0$$

이에요. $f(t)^4\ge 0$이고 $f$는 다항함수이므로, $x\ne a$이면 보통 $\int_a^x f(t)^4\,dt>0$이에요. 적분이 정확히 $0$이 되는 경우는 $x=a$일 때예요. 그래서 ㉠에서

$$g'(x)=0 \iff x=a\ \text{또는}\ f'(x)=0\ (\text{즉 }x=3,\,5)$$

꼴로 생각할 수 있어요.

(ⅰ) $a\ne 3$이고 $a\ne 5$인 경우
$x=a,\,3,\,5$가 서로 달라서 $g'(x)=0$인 점이 (일반적으로) 세 개가 되고, 함수 $g(x)$는 $x=3,\,5,\,a$에서 각각 극값을 갖게 돼요.

(ⅱ) $a=3$인 경우
$g'(x)=0$은 $x=3$ 또는 $x=5$예요. $x\ne 3$이면 $\int_3^x f(t)^4\,dt>0$이므로 $g'(x)$의 부호는 $f'(x)$와 같아요. $f'(x)$의 부호표에 따르면 $x<3$에서 $g'(x)<0$, $3<x<5$에서 $g'(x)<0$, $x>5$에서 $g'(x)>0$이에요. 따라서 $x=3$에서는 극값이 생기지 않고, $x=5$에서만 극소가 생겨요.

(ⅲ) $a=5$인 경우
같은 논의로 $g'(x)=0$은 $x=3$ 또는 $x=5$인데, $x\ne 5$이면 $\int_5^x f(t)^4\,dt$의 부호와 $f'(x)$를 조합하면 $x=3$에서만 극대가 생기고 $x=5$에서는 극값이 생기지 않아요.

따라서 $g(x)$가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 실수 $a$는 $a=3$ 또는 $a=5$뿐이에요. 구하는 값은

$$3+5=8$$

이에요.

그래서 모든 $a$의 값의 합은 $\boxed{8}$이에요.