2024학년도 9월 모평 22번

(가)

$$\int_{1}^{x}f(t)\,dt=xf(x)-2x^{2}-1\qquad\cdots\cdots\text{㉠}$$

양변을 미분하면 ($x\neq 0$) 아래와 같아요.

$$f(x)=f(x)+xf'(x)-4x,\qquad xf'(x)=4x$$

$f'(x)$가 다항함수이므로 모든 실수에서 $f'(x)=4$, 따라서 $f(x)=4x+C_{1}$이에요.

㉠에 $x=1$을 대입하면 왼쪽은 $0$이므로 아래와 같아요.

$$0=f(1)-2-1,\qquad f(1)=3$$

따라서 $f(x)=4x-1$, $F(x)=2x^{2}-x+a$ ($a$는 적분상수)이에요.

(나)

$f(x)G(x)+F(x)g(x)=(F(x)G(x))'$이므로 아래와 같아요.

$$F(x)G(x)=2x^{4}+x^{3}+x+C_{2}$$

$F(x)$가 이차식(최고차항 계수 $2$)이므로 $G(x)$는 최고차항 계수 $1$인 이차식이에요. $G(x)=x^{2}+bx+c$라 하면 아래와 같아요.

$$(2x^{2}-x+a)(x^{2}+bx+c)=2x^{4}+x^{3}+x+C_{2}$$

계수를 비교하면 아래와 같아요.

차수	좌변	우변
$x^{3}$	$2b-1$	$1$
$x^{2}$	$2c-b+a$	$0$
$x$	$ab-c$	$1$

$x^{3}$에서 $b=1$. $x^{2}$에서 $a=1-2c$, $x$에서 $a-c=1$이므로 $c=0$, $a=1$이에요.

따라서 $G(x)=x^{2}+x$, $g(x)=G'(x)=2x+1$이에요.

$$\int_{1}^{3}g(x)\,dx=G(3)-G(1)=(9+3)-(1+1)=10$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{10}$예요.