2026학년도 수능 15번

$h(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}(g(t)-f(t))\,dt$이므로 $h'(x)=g(x)-f(x)$입니다.

$$h'(x)=g(x)-f(x)= \begin{cases} x^{2}+ax+a & (x< -1) \\ x^{2} & ( -1 \leq x< 0) \\ - x^{2}+x & (0 \leq x< 1) \\ -(x-1)(x-a) & (x \geq 1) \end{cases}$$

$h(x)$가 오직 하나의 극값을 가지려면 $h'(x)$의 부호가 바뀌는 $x$가 하나뿐이어야 합니다.

$-1\le x<1$에서는 $h'(x)$의 부호가 바뀌지 않으므로, 극값은 $x<-1$ 또는 $x\ge 1$에서만 생깁니다.

$0<a\le 1$일 때

$x\ge 1$에서 $-(x-1)(x-a)\ge 0$이고, $x=1$에서만 $0$이 됩니다. 따라서 $h(x)$는 $x=1$에서만 극값을 갖습니다. 조건 만족

$a>1$일 때

$x\ge 1$에서 $x=a$에서도 부호가 바뀌므로 극값이 $x=a$에서 추가로 생깁니다. 극값이 하나뿐이려면 $x<-1$에서 부호 변화가 없어야 하므로 $x^{2}+ax+a=0$의 판별식 $D$에 대하여

$$\begin{aligned} D&=a^{2}-4a \\ &=a(a-4)\le 0 \end{aligned}$$

따라서 $0\le a\le 4$이고, $a>1$이면 $1<a\le 4$입니다.

$a$의 최댓값

두 경우를 합치면 $0<a\le 4$이므로 $k=4$입니다.

$k+h(3)$

$a=4$일 때 $0\le t<1$에서는 $g(t)-f(t)=-t^{2}+t$, $1\le t\le 3$에서는 $g(t)-f(t)=-t^{2}+5t-4$입니다.

$$\begin{aligned} h(3) &=\int_{0}^{1}(-t^{2}+t)\,dt+\int_{1}^{3}(-t^{2}+5t-4)\,dt \\ &=\left[-\dfrac{1}{3}t^{3}+\dfrac{1}{2}t^{2}\right]_{0}^{1} +\left[-\dfrac{1}{3}t^{3}+\dfrac{5}{2}t^{2}-4t\right]_{1}^{3} \\ &=\dfrac{1}{6}+\dfrac{7}{2} \\ &=\dfrac{7}{2} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} k+h(3)&=4+\dfrac{7}{2} \\ &=\dfrac{15}{2} \end{aligned}$$

따라서 정답은 ④예요.