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2025년 9월 모의평가 미적분Ⅰ > 3. 적분 > L. 정적분 > 미적분학의 기본 정리 난이도

2025학년도 9월 모평 15번

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문제

두 다항함수 $f(x)$ , $g(x)$ 는 모든 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

조건

(가) $\displaystyle \int_{1}^{x}\ tf(t) dt + \int_{- 1}^{x}\ tg(t) dt = 3x^{4} + 8x^{3} - 3x^{2}$

(나) $f(x) = xg '(x)$

$\displaystyle \int_{0}^{3}\ g(x) dx$ 의 값은? [4점]

① $72$ ② $76$ ③ $80$

정답 체크

84

88

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힌트 및 풀이

STEP 힌트

조건 (가) 양변을 $x$ 에 대해 미분해 보세요. $\displaystyle\int_{a}^{x}t\,\varphi(t)\,dt$ 를 미분하면 $x\varphi(x)$ 가 나와요.
미분 결과에서 $f(x)+g(x)=12x^{2}+24x-6$ 을 얻을 수 있어요. 조건 (나)의 $f(x)=xg'(x)$ 를 대입해 $xg'(x)+g(x)$ 만 남기면 돼요.
$xg'(x)+g(x)=\{xg(x)\}'$ 이므로 양변을 적분하면 $xg(x)=4x^{3}+12x^{2}-6x+C$ 예요. $x=0$ 을 대입해 $C$ 를 구하고 $g(x)$ 를 정리한 뒤 $\displaystyle\int_{0}^{3}g(x)\,dx$ 를 계산해요.

최종 풀이

모든 STEP 힌트를 공개하면 풀이를 열 수 있습니다.

출제 경향

현재 문항과 같은 분류(단원/개념) 기준으로 출제 빈도와 난이도 분포를 집계했습니다.

단원 출제

55회 (12.2%)

개념 출제

10회 (2.2%)

개념 출제 (회차 기준)

10회 (66.7%)

같은 개념의 평균 난이도는 4.10 이고, 가장 자주 출제된 난이도는 4 입니다. 최근 3개년 기준 출제는 5회 입니다.

난이도 1: 0회 난이도 2: 1회 난이도 3: 1회 난이도 4: 4회 난이도 5: 4회

2025학년도 9월 모평 15번

문제

정답 체크

힌트 및 풀이

STEP 힌트

최종 풀이

$g(x)$ 구하기

$\displaystyle\int_{0}^{3}g(x)\,dx$

출제 경향

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문제

정답 체크

힌트 및 풀이

STEP 힌트

최종 풀이

g(x)g(x)g(x) 구하기

∫03g(x) dx\displaystyle\int_{0}^{3}g(x)\,dx∫03​g(x)dx

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$g(x)$ 구하기

$\displaystyle\int_{0}^{3}g(x)\,dx$