2022학년도 수능 25번

(나) $|a^{2}-b^{2}|=5$이므로

$$a^{2}-b^{2}=5 \quad\text{또는}\quad a^{2}-b^{2}=-5$$

이에요.

$$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$$

$a$, $b$가 자연수이고 $|a-b|\cdot|a+b|=5$이므로, $5=1\times 5$로만 나눌 수 있어요.

• $a-b=1$, $a+b=5$ → $a=3$, $b=2$

• $b-a=1$, $a+b=5$ → $a=2$, $b=3$

따라서 $(a,b)=(2,3)$ 또는 $(3,2)$, $2$가지예요.

(가) $a+b+c+d+e=12$에서 $a+b=5$이므로

$$c+d+e=7$$

$c,d,e$가 자연수이면 $c=c'+1$, $d=d'+1$, $e=e'+1$($c',d',e'\ge 0$)로 두어

$$c'+d'+e'=4$$

음이 아닌 정수해 $(c',d',e')$의 개수는 중복조합으로

$${}_{3}H_{4}={}_{6}C_{4}={}_{6}C_{2}=\dfrac{6\times 5}{2}=15$$

이에요.

따라서 구하는 순서쌍의 개수는

$$2\times 15=30$$

따라서 정답은 ①예요.