2026학년도 수능 20번

수열 $\{ a_{n}\}$이 다음 조건을 만족시킨다.

조건

• $a_{1} = 7$

• $2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \sum_{k = 1}^{n}a_{k} = \dfrac{2}{3}a_{n} + \dfrac{1}{6}n^{2} - \dfrac{1}{6}n + 10$ 이다.

다음은 $\displaystyle \sum_{k = 1}^{12}a_{k} + \sum_{k = 1}^{5}a_{2k + 1}$의 값을 구하는 과정이다.

$2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle a_{n + 1} = \sum_{k = 1}^{n + 1}a_{k} - \sum_{k = 1}^{n}a_{k}$이므로

$a_{n + 1} = \dfrac{2}{3}(a_{n + 1} - a_{n}) + \boxed{\ (가)\ }$

이고, 이 식을 정리하면

$2a_{n} + a_{n + 1} = 3 \times \boxed{\ (가)\ } \quad \cdots\cdots$ ㉠

이다.

$\displaystyle \sum_{k = 1}^{n}a_{k} = \dfrac{2}{3}a_{n} + \dfrac{1}{6}n^{2} - \dfrac{1}{6}n + 10\ (n \geq 2)$

에서 양변에 $n = 2$를 대입하면

$a_{2} = \boxed{\ (나)\ } \quad \cdots\cdots$ ㉡

이다. ㉠과 ㉡에 의하여

$\displaystyle \sum_{k = 1}^{12}a_{k} + \sum_{k = 1}^{5}a_{2k + 1} = a_{1} + a_{2} + \sum_{k = 1}^{5}(2a_{2k + 1} + a_{2k + 2})$

$= \boxed{\ (다)\ }$

위의 (가)에 알맞은 식을 $f(n)$이라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p$, $q$라 할 때, $\dfrac{p \times q}{f(12)}$의 값을 구하시오. [4점]