주어진 함수는
f(x)={31(0<x<1)(x=1)
이고, 모든 실수 x에 대해 f(x+1)=f(x)를 만족해요.
즉, 주기가 1인 함수예요.
구하려는 값은
k=1∑203kf(k)
이므로, f(k) 값을 경우를 나누어 정해 볼게요.
(1) k가 완전제곱수인 경우
1≤k≤20에서 완전제곱수는 1,4,9,16이에요.
이때 k=1,2,3,4는 정수이므로
f(k)=f(1)=1
이에요. (주기가 1이므로 f(2)=f(1), f(3)=f(1), f(4)=f(1))
(2) k가 완전제곱수가 아닌 경우
k는 정수가 아니므로 k=n+r (n∈Z, 0<r<1)로 쓸 수 있어요.
주기 1을 쓰면
f(k)=f(n+r)=f(r)
이고 0<r<1이므로 f(r)=3이에요.
따라서 이 경우 f(k)=3이에요.
이제 합을 계산해요.
k=1∑203kf(k)=k∈{1,4,9,16}∑3k⋅1+k=1, k∈/{1,4,9,16}∑203k⋅3
=31+4+9+16+(k=1∑20k−(1+4+9+16))
=330+(210−30)=10+180=190
따라서 정답은 190, 즉 ⑤예요.
