2024학년도 9월 모평 21번

등차수열의 부분합은

$$S_{n}=pn^{2}+qn\qquad\text{($p$, $q$는 상수)}$$

꼴로 둘 수 있어요.

$$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=2pn-p+q$$

모든 항이 자연수이므로 $2p$는 음이 아닌 정수예요.

$\displaystyle\sum_{k=1}^{7}S_{k}$를 계산하면 아래와 같아요.

$$\sum_{k=1}^{7}(pk^{2}+qk) =p\cdot\dfrac{7\cdot 8\cdot 15}{6}+q\cdot\dfrac{7\cdot 8}{2} =140p+28q=644$$

양변을 $4$로 나누면 $35p+7q=161$, 다시 $7$로 나누면 아래와 같아요.

$$5p+q=23$$

$a_{1}=p+q$이고 $a_{1}\ge 1$이므로 $p+q\ge 1$이에요. $q=23-5p$이면 $a_{1}=23-4p\ge 1$, 따라서 $p\le\dfrac{11}{2}$예요.

또한

$$a_{7}=S_{7}-S_{6}=(49p+7q)-(36p+6q)=13p+q=8p+23$$

$p\le\dfrac{11}{2}$이면 $a_{7}\le 8\cdot\dfrac{11}{2}+23=67$예요.

$a_{7}$이 $13$의 배수이고 $a_{7}\le 67$이므로 후보는 $13$, $26$, $39$, $52$, $65$예요. $a_{7}=8p+23$에서 아래와 같아요.

$$8p+23=39\quad\Rightarrow\quad p=2$$

만 가능해요. ($2p=4$도 정수예요.)

$q=23-5\cdot 2=13$이므로 아래와 같아요.

$$a_{2}=3p+q=6+13=19$$

(또는 $a_{2}=-2p+23=19$.)

따라서 구하는 값은 $\boxed{19}$예요.