2026학년도 수능 14번

기본 길이

직각삼각형 $ABC$에서

$$\begin{aligned} \overline{AC}&=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5 \\ \sin(\angle BAC)&=\dfrac{4}{5} \quad \cdots\cdots \text{㉠} \end{aligned}$$

$D$는 $AB$를 $2:1$로 내분하므로 $\overline{AD}=2$입니다. 원의 반지름도 $2$이므로

$$\overline{AE}=\overline{AG}=2,\quad \overline{CE}=3$$

$\overline{EG}$ 구하기

$\triangle ACG$에서 코사인법칙에 의해

$$\begin{aligned} (2\sqrt{6})^{2}&=5^{2}+2^{2}-2\times 5\times 2\cos(\angle CAG) \\ 24&=29-20\cos(\angle CAG) \\ \cos(\angle CAG)&=\dfrac{1}{4} \end{aligned}$$

$\angle EAG=\angle CAG$이므로 $\triangle AEG$에서

$$\begin{aligned} \overline{EG}^{2}&=2^{2}+2^{2}-2\times 2\times 2\times\dfrac{1}{4} \\ &=6 \end{aligned}$$

따라서 $\overline{EG}=\sqrt{6}$입니다.

$\triangle CEG$의 외접원

$\overline{CE}=3$, $\overline{EG}=\sqrt{6}$, $\overline{CG}=2\sqrt{6}$입니다. $\triangle CEG$에서

$$\begin{aligned} \cos(\angle CGE) &=\dfrac{6+24-9}{2\times\sqrt{6}\times 2\sqrt{6}} \\ &=\dfrac{7}{8} \end{aligned}$$

$\angle CGE$는 삼각형의 내각이므로

$$\sin(\angle CGE)=\sqrt{1-\left(\dfrac{7}{8}\right)^{2}}=\dfrac{\sqrt{15}}{8}$$

외접원의 반지름 $R$에 대하여

$$\begin{aligned} 2R&=\dfrac{\overline{CE}}{\sin(\angle CGE)} \\ &=\dfrac{3}{\dfrac{\sqrt{15}}{8}} \\ &=\dfrac{8\sqrt{15}}{5} \end{aligned}$$

$\overline{GH}$ 구하기

$\angle HCG=\angle BAC$이므로 $\sin(\angle HCG)=\dfrac{4}{5}$입니다. 네 점 $C,E,G,H$가 한 원 위에 있으므로 $\triangle CGH$에서 사인법칙에 의해

$$\begin{aligned} \overline{GH}&=2R\sin(\angle HCG) \\ &=\dfrac{8\sqrt{15}}{5}\times\dfrac{4}{5} \\ &=\dfrac{32\sqrt{15}}{25} \end{aligned}$$

따라서 정답은 ④예요.