2026학년도 9월 모평 20번

그림과 같이 사각형 $ABCD$가 한 원에 내접하고
$\overline{AB} : \overline{CD} = 1 : 3$, $\overline{BC}<\overline{AD}$일 때, 직선 $AB$와 직선 $CD$가 만나는 점을 $P$라 하자.

다음은 $\overline{PB} : \overline{PC} : \overline{BC} = 7 : 5 : \sqrt{14}$이고 $\overline{AD} = 4\sqrt{13}$일 때, 삼각형 $BPC$의 외접원의 반지름의 길이를 구하는 과정이다.

$\angle BPC = \theta$라 할 때, $\overline{PB} : \overline{PC} : \overline{BC} = 7 : 5 : \sqrt{14}$이므로

삼각형 $BPC$에서 코사인법칙에 의하여 $\cos \theta = \dfrac{6}{7}$이다.

$\overline{PB} : \overline{PC} = 7 : 5$에서 $\overline{PB} = 7k$, $\overline{PC} = 5k$,

$\overline{AB} : \overline{CD} = 1 : 3$에서 $\overline{AB} = l$, $\overline{CD} = 3l$이라 하자.

원의 성질에 의하여

삼각형 $BPC$와 삼각형 $DPA$가 서로 닮음이므로

$\overline{PB} : \overline{PC} = \overline{PD} : \overline{PA}$이고, $l = \boxed{\ (가)\ } \times k$이다.

삼각형 $BPC$와 삼각형 $DPA$의 닮음비가 $1 : \boxed{\ (나)\ }$이므로

$\overline{BC} = \dfrac{1}{ \boxed{\ (나)\ } } \times \overline{AD}$이다.

따라서 삼각형 $BPC$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$라 할 때, 삼각형 $BPC$에서 사인법칙에 의하여 $R = \boxed{\ (다)\ }$이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p$, $q$, $r$라 할 때,
$p + q + r$의 값을 구하시오. [4점]