2026학년도 9월 모평 12번

점 $A$, $B$, $C$의 좌표는 다음과 같습니다.

$$\begin{aligned} A(t,a^t),\quad B(2t,a^{2t}),\quad C(2t,0) \end{aligned}$$

$\overline{AB}=\overline{AC}$

${\overline{AB}}^{2}={\overline{AC}}^{2}$이므로

$$\begin{aligned} t^{2}+(a^{2t}-a^{t})^{2}&=t^{2}+(a^{t})^{2} \\ (a^{2t}-a^{t})^{2}&=a^{2t} \end{aligned}$$

양변을 전개하면

$$\begin{aligned} a^{4t}-2a^{3t}+a^{2t}&=a^{2t} \\ a^{3t}(a^{t}-2)&=0 \end{aligned}$$

$a>1$, $t>0$이므로 $a^{3t}>0$입니다. 따라서

$$\begin{aligned} a^{t}&=2 \quad \cdots\cdots \text{㉠} \end{aligned}$$

삼각형 $ACB$의 넓이

점 $B$, $C$는 직선 $x=2t$ 위에 있으므로 밑변 $\overline{BC}=a^{2t}$, 높이는 점 $A$와 직선 $x=2t$ 사이의 거리 $t$입니다.

$$\begin{aligned} \dfrac{1}{2}\times a^{2t}\times t&=8 \\ ta^{2t}&=16 \quad \cdots\cdots \text{㉡} \end{aligned}$$

㉠을 ㉡에 대입하면 $4t=16$, 즉 $t=4$입니다. ㉠에서 $a^{4}=2$이므로 $a=2^{\dfrac{1}{4}}$입니다.

$$\begin{aligned} a\times t &=2^{\dfrac{1}{4}}\times 4 \\ &=2^{\dfrac{1}{4}}\times 2^{2} \\ &=2^{\dfrac{9}{4}} \end{aligned}$$

따라서 정답은 ①예요.