2024학년도 9월 모평 14번

$x\le -8$에서 $f(x)=2^{x+a}+b$는 증가하고 점근선은 $y=b$예요.

$$f(-8)=b+2^{a-8}$$

$x>-8$에서 $f(x)=-3^{x-3}+8$은 감소하고 점근선은 $y=8$예요.

$$\lim_{x\to -8+}f(x)=8-3^{-11}$$

따라서 $-8<x<3$에서는 $7<f(x)<8$이고, 정수인 함숫값은 없어요.

조건 $3\le k<4$에서 $\{f(x)\mid x\le k\}$의 정수 원소는 정확히 $2$개예요.

$$f(3)=7,\qquad f(4)=5$$

$k<4$이면 $5\notin\{f(x)\mid x\le k\}$이고, $3<x<4$에서 $f(x)=6$인 $x$는 하나뿐이므로 이 구간에서 정수는 $6$만 추가돼요. 따라서 아래와 같아요.

$$\{6,7\}\subset\{f(x)\mid x\le k\}\quad(3\le k<4)$$

$k$의 최솟값이 $3$이고 $f(3)=7$이므로, $x<3$에서 정수인 $f(x)$는 $6$뿐이어야 해요. $x\le -8$에서 $f$가 정수인 경우도 $6$뿐이므로 점근선 바로 위 정수가 $6$이에요.

$$b+1=6,\qquad b=5$$

또한 $6\le f(-8)<7$이어야 하므로

$$6\le b+2^{a-8}<7,\qquad 6\le 5+2^{a-8}<7$$ $$1\le 2^{a-8}<2,\qquad 0\le a-8<1$$

$a$는 자연수이므로 $a=8$이에요.

$$a+b=13$$

따라서 정답은 ②예요.