2026학년도 6월 모평 20번

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

조건

$0 \leq x< 4$일 때 $f(x) = - x^{2} + 4x$이고,

모든 실수 $x$에 대하여 $f(x + 4) = f(x)$이다.

방정식 $f(f(x)) = f(x)$의 $0$ 이상인 모든 실근을 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $n$번째 수를 $a_{n}$이라 하자.\

다음은 $a_{20} + a_{21} + a_{22}$의 값을 구하는 과정이다.

방정식 $f(x) = x$의 모든 실근이 $0$, $3$이므로

방정식 $f(f(x)) = f(x)$의 실근을 구하는 것은

방정식 $f(x) \times (f(x) - 3) = 0$의 실근을 구하는 것과 같다.

$0 \leq x< 4$일 때, 방정식 $f(x) \times (f(x) - 3) = 0$의

모든 실근은 $0$, $\boxed{\ (가)\ }$, $3$이므로

$a_{1} = 0$, $a_{2} = \boxed{\ (가)\ }$, $a_{3} = 3$

이다. 또한 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x + 4) = f(x)$이므로

세 수열 $\{ a_{3n - 2}\}$, $\{ a_{3n - 1}\}$, $\{ a_{3n}\}$은

첫째항이 각각 $0$, $\boxed{\ (가)\ }$, $3$이고

공차가 모두 $\boxed{\ (나)\ }$인 등차수열이다.

따라서 $a_{20} + a_{21} + a_{22} = \boxed{\ (다)\ }$이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p$, $q$, $r$라 할 때,\

$p + q + r$의 값을 구하시오. [4점]