2023학년도 6월 모평 12번

공차가 $3>0$이고 (가) $a_5\times a_7<0$이므로 $a_5<0$, $a_7>0$이에요.

따라서 $n\le 5$일 때 $a_n<0$, $n\ge 7$일 때 $a_n>0$이에요.

**(나)**에서 $k=1,\ldots,6$에 대해

$$\sum_{k=1}^{6}|a_{k+6}|=|a_7|+\cdots+|a_{12}|=a_7+\cdots+a_{12}$$

(양수만 더함)

$$\sum_{k=1}^{6}|a_{2k}|=|a_2|+|a_4|+|a_6|+|a_8|+|a_{10}|+|a_{12}|$$

이므로

$$a_7+\cdots+a_{12}=6+|a_2|+|a_4|+|a_6|+|a_8|+|a_{10}|+|a_{12}|$$

양변에서 $a_8+a_{10}+a_{12}$를 빼면

$$a_7+a_9+a_{11}=6+|a_2|+|a_4|+|a_6|$$

$a_2,a_4<0$이므로 $|a_2|=-a_2$, $|a_4|=-a_4$예요.

$$a_7+a_9+a_{11}=6-a_2-a_4+|a_6|$$

$a_n=a_1+(n-1)\times 3$이므로

$$(a_1+18)+(a_1+24)+(a_1+30)=6-(a_1+3)-(a_1+9)+|a_1+15|$$ $$3a_1+72=-2a_1-6+|a_1+15|$$ $$|a_1+15|=5a_1+78 \quad\cdots\cdots \text{㉠}$$

**$a_1+15\ge 0$**이면 $a_1+15=5a_1+78$, $4a_1=-63$, $a_1=-\dfrac{63}{4}<-15$이어서 모순이에요.

**$a_1+15<0$**이면 ㉠에서 $-a_1-15=5a_1+78$, $6a_1=-93$,

$$a_1=-\dfrac{31}{2}$$

이에요 ($a_5=-\dfrac{7}{2}<0$, $a_7=\dfrac{5}{2}>0$으로 **(가)**도 만족).

$$a_{10}=a_1+9\times 3=-\dfrac{31}{2}+27=\dfrac{23}{2}$$

따라서 정답은 ③예요.