2024학년도 6월 모평 12번

공차를 d$$(d\neq 0)라 하면 아래와 같아요.

$$a_{n}=a_{2}+(n-2)d=-4+(n-2)d$$ $$b_{n}=a_{n}+a_{n+1},\qquad b_{n+1}-b_{n}=a_{n+2}-a_{n}=2d$$

이므로 $\{b_{n}\}$도 공차 $2d$인 등차수열이에요.

$$a_{1}=-4-d,\quad b_{1}=a_{1}+a_{2}=-8-d$$ $$b_{2}=-8+d,\quad b_{3}=-8+3d,\quad b_{4}=-8+5d,\quad b_{5}=-8+7d$$

$d>0$일 때

$a_{1}=-4-d<0$, $a_{2}=-4<0$이고 $b_{1}=-8-d<a_{1}$이에요. $n(A\cap B)=3$이려면 $b_{2}=a_{1}$이거나 $b_{3}=a_{1}$이어야 해요.

(ⅰ) $b_{2}=a_{1}$일 때

$$-8+d=-4-d\quad\Rightarrow\quad 2d=4,\quad d=2$$

이때 $b_{3}=a_{3}$, $b_{4}=a_{5}$이기도 하므로 $A\cap B=\{a_{1},a_{3},a_{5}\}$로 $n(A\cap B)=3$이에요.

$$a_{20}=a_{2}+18d=-4+36=32$$

(ⅱ) $b_{3}=a_{1}$일 때

$$-8+3d=-4-d\quad\Rightarrow\quad 4d=4,\quad d=1$$

이때 $b_{4}=a_{3}$, $b_{5}=a_{5}$이므로 역시 $n(A\cap B)=3$이에요.

$$a_{20}=-4+18=14$$

$d<0$일 때

$a_{1}>0$이면 $a_{2}<b_{1}<a_{1}$이라 $A\cap B=\varnothing$이고, $a_{1}=0$이면 $n(A\cap B)=2$, $a_{1}<0$이면 $n(A\cap B)\le 2$예요. 따라서 $d<0$은 조건을 만족하지 않아요.

조건을 만족하는 $a_{20}$은 $32$와 $14$뿐이에요. 따라서

$$32+14=46$$

따라서 정답은 ⑤예요.