2022학년도 9월 모평 13번

$a_1=-45<0$이고 공차 $d$는 자연수이므로 $\{a_n\}$은 증가하는 등차수열이에요. 어느 항부터는 양수가 됩니다.

(가) $|a_m|=|a_{m+3}|$인 자연수 $m$이 있어야 해요.
$m$과 $m+3$은 서로 다르고, 증가 수열에서 지표가 $3$만큼 차이 나면 부호가 바뀌는 구간에 걸리는 경우가 자연스러워요. 그때 $a_m<0$, $a_{m+3}>0$이면 $|a_m|=|a_{m+3}|$는 $-a_m=a_{m+3}$, 즉

$$a_m+a_{m+3}=0$$

이에요.

$a_n=-45+(n-1)d$를 대입하면

$$\{-45+(m-1)d\}+\{-45+(m+2)d\}=0$$ $$-90+(2m+1)d=0$$ $$(2m+1)d=90 \quad\cdots\cdots\text{㉠}$$

이에요. $m$이 자연수이면 $2m+1$은 $3$ 이상인 홀수이고, ㉠에서 $d=\dfrac{90}{2m+1}$이므로 $d$는 짝수여야 해요.

$90=2\times 3^2\times 5$의 약수 중 짝수이면서 ㉠을 만족시키는 $d$는

$$d\in\{2,\ 6,\ 10,\ 18,\ 30\}$$

이에요. (각각 $2m+1=45,\ 15,\ 9,\ 5,\ 3$에 대응합니다.)

(나) 등차수열의 합 공식에 $a_1=-45$를 넣으면

$$\sum_{k=1}^n a_k=\dfrac{n\{-90+(n-1)d\}}{2}>-100$$

이 모든 자연수 $n$에서 성립해야 해요. 양변에 $2$를 곱해 정리하면

$$n\{-90+(n-1)d\}>-200 \quad\cdots\cdots\text{㉡}$$

이에요.

$g_d(n)=n\{(n-1)d-90\}$라 두면, $d>0$일 때 이 식은 아래로 볼록한 이차함수에 대응하고, 자연수 $n$에서의 최솟값은 연속적인 꼭짓점 $n=\dfrac{90+d}{2d}$ 근처의 몇 개의 $n$에서만 확인해도 충분해요.

• $d=2$: $n=23$ 근처에서 $g_2(23)=23\times(-44)=-1012<-200$이므로 (나) 불만족.
• $d=6$: $n=8$에서 $g_6(8)=8\times(-48)=-384<-200$이므로 불만족.
• $d=10$: $n=5$에서 $g_{10}(5)=5\times(-54)=-270<-200$이므로 불만족.
• $d=18$: 꼭짓점 근처 $n=3$에서 $g_{18}(3)=3\times(-54)=-162>-200$이고, 다른 $n$에서도 ㉡이 성립함을 확인할 수 있어요.
• $d=30$: 꼭짓점 근처 $n=2$에서 $g_{30}(2)=2\times(-60)=-120>-200$이고, 마찬가지로 만족해요.

따라서 (가), (나)를 모두 만족하는 자연수 $d$는 $18$과 $30$뿐이에요. 구하는 합은

$$18+30=48$$

이에요.

따라서 정답은 ②예요.