2026학년도 6월 모평 14번

$\overline{BC}$의 길이

$\overline{CQ}=x$라 하면 $BC$를 $5:1$로 내분하므로 $\overline{BQ}=5x$, $\overline{BC}=6x$예요.

$P$는 $BC$의 중점이므로 $\overline{BP}=\overline{PC}=3x$이고, $B$—$P$—$Q$—$C$ 순으로 놓이면

$$\overline{PQ}=\overline{BQ}-\overline{BP}=5x-3x=2x$$

삼각형 $APQ$에서 사인법칙에 의해

$$\dfrac{\overline{PQ}}{\sin(\angle QAP)}=\dfrac{\overline{AQ}}{\sin(\angle APQ)}$$

$\sin(\angle QAP):\sin(\angle APQ)=\sqrt{2}:3$이므로 $\sin(\angle QAP)=\sqrt{2}k$, $\sin(\angle APQ)=3k$ ($k>0$)라 두면

$$\dfrac{2x}{\sqrt{2}k}=\dfrac{3\sqrt{2}}{3k}$$

양변을 정리하면 $2x=2$, **$x=1$**이므로

$$\overline{BC}=6,\quad \overline{BQ}=5$$

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$\angle ABQ$

삼각형 $ABQ$에서 코사인법칙에 의해

$$\cos(\angle ABQ)=\dfrac{\overline{AB}^{2}+\overline{BQ}^{2}-\overline{AQ}^{2}}{2\cdot\overline{AB}\cdot\overline{BQ}} =\dfrac{28+25-18}{2\cdot 2\sqrt{7}\cdot 5} =\dfrac{\sqrt{7}}{4}$$

따라서

$$\sin(\angle ABQ)=\sqrt{1-\cos^{2}(\angle ABQ)}=\dfrac{3}{4}$$

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$\overline{AC}$와 외접원

$\angle ABC=\angle ABQ$이므로 삼각형 $ABC$에서

$$\overline{AC}^{2}=\overline{AB}^{2}+\overline{BC}^{2}-2\cdot\overline{AB}\cdot\overline{BC}\cdot\cos(\angle ABC) =28+36-2\cdot 2\sqrt{7}\cdot 6\cdot\dfrac{\sqrt{7}}{4}=22$$ $$\overline{AC}=\sqrt{22}$$

외접원의 반지름을 $R$라 하면 사인법칙에 의해

$$\dfrac{\overline{AC}}{\sin(\angle ABC)}=2R, \qquad \dfrac{\sqrt{22}}{\dfrac{3}{4}}=2R$$ $$R=\dfrac{2\sqrt{22}}{3}$$

외접원의 넓이는

$$\pi R^{2}=\pi\left(\dfrac{2\sqrt{22}}{3}\right)^{2}=\dfrac{88}{9}\pi$$

따라서 정답은 ②예요.