2026학년도 6월 모평 12번

(나)의 두 갈래

$$(a_{n+1}-a_{n}+3)(a_{n+1}-2a_{n})=0$$

이므로 매 $n$에 대해

$$a_{n+1}=a_{n}-3 \quad\text{또는}\quad a_{n+1}=2a_{n}$$

$a_{1}\to a_{2}\to a_{3}$까지는 각 단계에서 위 둘 중 하나를 택하므로 $4$가지예요.

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(ⅰ) $a_{2}=a_{1}-3$, $a_{3}=a_{2}-3$

$$a_{3}=a_{1}-6$$

(가)에서 $a_{1}=a_{3}$이면 $a_{1}=a_{1}-6$ → 불가능 (해당 수열 없음)

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(ⅱ) $a_{2}=a_{1}-3$, $a_{3}=2a_{2}$

$$a_{3}=2(a_{1}-3)=2a_{1}-6$$

$a_{1}=a_{3}$이므로 $a_{1}=2a_{1}-6$, $a_{1}=6$, $a_{3}=6$.

$a_{4}$:

• $a_{4}=a_{3}-3=3$

• $a_{4}=2a_{3}=12$

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(ⅲ) $a_{2}=2a_{1}$, $a_{3}=a_{2}-3$

$$a_{3}=2a_{1}-3$$

$a_{1}=a_{3}$이므로 $a_{1}=3$, $a_{3}=3$.

$a_{4}$:

• $a_{4}=0$

• $a_{4}=6$

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(ⅳ) $a_{2}=2a_{1}$, $a_{3}=2a_{2}$

$$a_{3}=4a_{1}$$

$a_{1}=a_{3}$이므로 $a_{1}=0$, $a_{3}=0$.

$a_{4}$:

• $a_{4}=-3$

• $a_{4}=0$

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$a_{4}$의 최댓값

가능한 $a_{4}$: $3$, $12$, $0$, $6$, $-3$, $0$

$$\max a_{4}=12$$

따라서 정답은 ②예요.