2022학년도 9월 모평 15번

조건 $a_5+a_6=0$은 $a_6=-a_5$와 같아요. $a_5$의 구간을 세 경우로 나눌게요.

(1) $-1\le a_5<-\dfrac12$이면 $a_6=-2a_5-2=-a_5$에서 $a_5=-2$가 되는데, 구간에 들어가지 않아요.

(2) $-\dfrac12\le a_5\le \dfrac12$이면 $a_6=2a_5=-a_5$에서 $3a_5=0$, 즉 $a_5=0$이에요.

(3) $\dfrac12<a_5\le 1$이면 $a_6=-2a_5+2=-a_5$에서 $a_5=2$가 되는데, 역시 구간에 없어요.

따라서 **$a_5=0$**만 가능해요.

이제 $a_4$를 찾아요. $a_5=0$이 되게 하는 $a_4$는 다음뿐이에요.

• 중간 식 $2a_4=0$ $\Rightarrow$ $a_4=0$ (이때 $-\dfrac12\le a_4\le \dfrac12$ 만족)
• 첫 식 $-2a_4-2=0$ $\Rightarrow$ $a_4=-1$ ($-1\le a_4<-\dfrac12$ 만족)
• 마지막 식 $-2a_4+2=0$ $\Rightarrow$ $a_4=1$ ($\dfrac12<a_4\le 1$ 만족)

즉 $a_4\in\{-1,0,1\}$이에요.

역추적 규칙을 정리하면, 값 $y=a_{n+1}$이 주어졌을 때 가능한 이전 항 $x=a_n$은 다음을 만족해야 해요.

• $y=2x$이고 $-\dfrac12\le x\le \dfrac12$ $\Rightarrow$ $x=\dfrac{y}{2}$
• $y=-2x-2$이고 $-1\le x<-\dfrac12$ $\Rightarrow$ $x=-\dfrac{y+2}{2}$
• $y=-2x+2$이고 $\dfrac12<x\le 1$ $\Rightarrow$ $x=\dfrac{2-y}{2}$

(ⅰ) $a_4=-1$
가능한 $a_3$: $\dfrac{-1}{2}=-\dfrac12$ (중간), 또는 $-\dfrac{-1+2}{2}=-\dfrac12$ (첫 구간 경계는 제외되므로 실질적으로 중간만), $-\dfrac12$는 중간 구간에 포함돼요. 또 $\dfrac{2-(-1)}{2}=\dfrac32$는 범위 밖.
따라서 $a_3=-\dfrac12$ 하나뿐이에요. 비슷하게 거슬러 올라가면 $a_2,a_1$도 모두 음수가 되고, $a_5=0$이어도

$$\sum_{k=1}^{5}a_k<0$$

이 되어 $\displaystyle\sum_{k=1}^5 a_k>0$을 만족하지 않아요.

(ⅱ) $a_4=0$
$a_3$ 후보: $0$ (중간), $-1$ (첫), $1$ (마지막).

• $a_3=-1$: (ⅰ)와 같이 $a_1,a_2$가 음수로만 이어져 합 조건 불만족.
• $a_3=0$: $a_2\in\{0,1\}$.
  • $a_2=0$ $\Rightarrow$ $a_1=1$ (마지막 식으로 $0=-2a_1+2$) 또는 $a_1=0$. $a_1=0$이면 합이 $0$이라 불만족, $a_1=1$이면 합 $>0$ 만족.
  • $a_2=1$ $\Rightarrow$ $a_1=\dfrac12$ (중간)만 가능 ($1=2a_1$). 합 만족.
• $a_3=1$: $a_2=\dfrac12$ (중간).
  $a_1=\dfrac14$ 또는 $\dfrac34$ (각각 중간·마지막 역산). 둘 다 합 만족.

(ⅲ) $a_4=1$
$a_3=\dfrac12$ (중간만 해당). $a_2\in\left\{\dfrac14,\dfrac34\right\}$.

• $a_2=\dfrac14$: $a_1\in\left\{\dfrac18,\dfrac78\right\}$ (중간·마지막). 합 만족.
• $a_2=\dfrac34$: $a_1\in\left\{\dfrac38,\dfrac58\right\}$. 합 만족.

따라서 조건을 만족하는 $a_1$은

$$1,\ \dfrac12,\ \dfrac14,\ \dfrac34,\ \dfrac18,\ \dfrac78,\ \dfrac38,\ \dfrac58$$

이에요. 합은

$$1+\dfrac12+\left(\dfrac14+\dfrac34\right)+\left(\dfrac18+\dfrac78\right)+\left(\dfrac38+\dfrac58\right) =1+\dfrac12+1+1+1=\dfrac92$$

이에요.

따라서 정답은 ①예요.