2025학년도 6월 모평 22번

$a_{1}=-\alpha$, $a_{2}=\alpha$($\alpha$는 실수)라 하면 $n=2$, $3$에서는 $\sqrt{n}$이 자연수가 아니므로

$$a_{3}=\alpha+1,\quad a_{4}=\alpha+2$$

$n=4$에서 $\sqrt{4}=2$이므로 $a_{4}>0$일 때 $a_{5}=a_{4}-2a_{2}=-\alpha+2$, 그렇지 않으면 $a_{5}=\alpha+3$이에요.

$n=5,6,7,8$에서는 $a_{n+1}=a_{n}+1$만 적용되므로

$$a_{9}= \begin{cases} -\alpha+6 & (a_{4}>0) \\ \alpha+7 & (a_{4}\le 0) \end{cases}$$

$n=9$에서 $\sqrt{9}=3$이므로 $a_{9}>0$일 때 $a_{10}=a_{9}-3a_{3}$, 그렇지 않으면 $a_{10}=a_{9}+1$이에요. $n=10,\ldots,14$에서는 다시 $+1$씩이므로 $a_{15}$를 경우별로 정리합니다.

(ⅰ) $a_{4}\le 0$, $a_{9}\le 0$

$\alpha+2\le 0$, $\alpha+7\le 0$에서 $\alpha\le -7$.

이때 $n=4$, $9$에서 특수 규칙이 쓰이지 않아 $a_{n}=\alpha+(n-2)$($n\ge 2$)이므로

$$a_{15}=\alpha+13=1 \quad\Rightarrow\quad \alpha=-12,\quad a_{1}=12$$

(ⅱ) $a_{4}\le 0$, $a_{9}>0$

$\alpha\le -2$이면서 $\alpha>-7$.

$$a_{10}=a_{9}-3a_{3}=(\alpha+7)-3(\alpha+1)=-2\alpha+4$$ $$a_{15}=-2\alpha+9=1 \quad\Rightarrow\quad \alpha=4$$

$\alpha\le -2$와 맞지 않아 해 없음.

(ⅲ) $a_{4}>0$, $a_{9}\le 0$

$\alpha>-2$이고 $-\alpha+6\le 0$에서 $\alpha\ge 6$.

$$a_{15}=-\alpha+12=1 \quad\Rightarrow\quad \alpha=11,\quad a_{1}=-11$$

(ⅳ) $a_{4}>0$, $a_{9}>0$

$\alpha>-2$이고 $-\alpha+6>0$에서 $\alpha<6$.

$$a_{10}=a_{9}-3a_{3}=(-\alpha+6)-3(\alpha+1)=-4\alpha+3$$ $$a_{15}=-4\alpha+8=1 \quad\Rightarrow\quad \alpha=\dfrac{7}{4},\quad a_{1}=-\dfrac{7}{4}$$

모든 $a_{1}$의 곱

$$a_{1}\in\left\{12,\,-11,\,-\dfrac{7}{4}\right\}$$

따라서

$$12\times(-11)\times\left(-\dfrac{7}{4}\right)=231$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{231}$예요.