2024학년도 6월 모평 15번

$a_{3}\times a_{4}\times a_{5}\times a_{6}<0$이려면 네 항 중 음수가 홀수 개이고, 어느 항도 $0$이 아니어야 해요.

$a_{1}=k>0$이므로 아래와 같아요.

$$a_{2}=a_{1}-2-k=-2$$

$a_{2}\le 0$이므로 아래와 같아요.

$$a_{3}=a_{2}+4-k=2-k$$

$a_{3}>0$일 때 ($k=1$)

$k=1$이면 $a_{3}=1$, $a_{4}=-6$, $a_{5}=1$, $a_{6}=-10$으로 곱이 양수라서 조건을 만족하지 않아요.

$a_{3}<0$일 때 ($k\ge 3$)

$$a_{4}=a_{3}+6-k=8-2k$$

(ⅰ) $a_{4}>0$ ($k=3$)

$a_{3}=-1$, $a_{4}=2$, $a_{5}=-9$, $a_{6}=-2$로 곱이 음수예요. $k=3$은 조건을 만족해요.

(ⅱ) $a_{4}<0$ ($k\ge 4$, $k\neq 4$)

$a_{4}=0$인 $k=4$는 제외하고,

$$a_{5}=a_{4}+8-k=16-3k$$

• $a_{5}>0$ ($k=5$)
  $a_{3}=-3$, $a_{4}=-2$, $a_{5}=1$, $a_{6}=-14$로 곱이 음수예요.

• $a_{5}<0$ ($k\ge 6$)
  $a_{6}=a_{5}+10-k=26-4k$이고, $a_{3},a_{4},a_{5}$가 모두 음수이므로 $a_{6}>0$이어야 해요.
  $26-4k>0$에서 $k<\dfrac{13}{2}$이므로 $k=6$만 해당해요.

조건을 만족하는 $k$는 $3$, $5$, $6$뿐이에요. 따라서

$$3+5+6=14$$

따라서 정답은 ②예요.