2023학년도 9월 모평 15번

**(가)**에서 $a_{4}=r^{1}=r$이에요. **(나)**에 따라 $|a_{4}|<5$이므로 $a_{5}=a_{4}+3=r+3$예요.

$$a_{6}=a_{5}+3=r+6,\qquad |a_{6}|<5 \text{이 아니므로}\quad a_{7}=-\dfrac{1}{2}a_{6}=-\dfrac{r+6}{2}$$ $$|a_{7}|<5 \text{이므로}\quad a_{8}=a_{7}+3=3-\dfrac{r+6}{2}=-\dfrac{r}{2}$$

**(가)**에서 $a_{8}=r^{2}$이므로

$$r^{2}=-\dfrac{r}{2} \quad\Rightarrow\quad r\left(r+\dfrac{1}{2}\right)=0$$

$0<|r|<1$이므로 $r=-\dfrac{1}{2}$예요. 따라서 $a_{4}=-\dfrac{1}{2}$예요.

$a_{4}=a_{3}+3$에서 $a_{3}=-\dfrac{7}{2}$이고 $|a_{3}|<5$이므로 $a_{2}=a_{3}-3=-\dfrac{13}{2}$는 **(나)**와 맞지 않아요 ($|a_{2}|\ge 5$이면 $a_{3}=-\dfrac{1}{2}a_{2}$이어야 함).

$$a_{3}=-\dfrac{1}{2}a_{2} \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{7}{2}=-\dfrac{1}{2}a_{2} \quad\Rightarrow\quad a_{2}=7$$

$a_{2}=a_{1}+3$이면 $a_{1}=4$로 **(나)**의 $a_{1}<0$에 맞지 않으므로, $a_{2}=-\dfrac{1}{2}a_{1}$에서

$$7=-\dfrac{1}{2}a_{1} \quad\Rightarrow\quad a_{1}=-14$$

앞으로 나아가 검산하면 $a_{3}=-\dfrac{7}{2}$, $a_{4}=-\dfrac{1}{2}$로 **(나)**와 **(가)**를 모두 만족해요.

$k\ge 1$일 때 $|a_{4k}|=|r|^{k}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k}<1$이므로 $m=4k$는 $|a_{m}|\ge 5$를 만족하지 않아요.

앞의 계산을 이어가면 $|a_{2}|=7$, $|a_{6}|=\dfrac{11}{2}$, $|a_{10}|=\dfrac{25}{4}$ 등 $m=4k-2$($k=1,2,3,\ldots$)일 때 $|a_{m}|\ge 5$가 되고, $1\le m\le 100$에서 $4k-2\le 100$인 $k$는 $1\le k\le 25$이므로 $25$개예요.

또 $|a_{1}|=14\ge 5$이므로 $m=1$도 포함돼요.

따라서 $p=25+1=26$이고,

$$p+a_{1}=26+(-14)=12$$

따라서 정답은 ③예요.